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1、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数 学（一）试 题 及 解 答一、选择题：18 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.1. 若反常积分+01 xa(1 + x)bdx 收敛, 则 C (A)a 1.(B)a 1 且 b 1.(C)a 1.(D)a 1 且 a + b 1.2. 已知函数 f(x) = 2(x 1),x 0), 记 p = P X + 2, 则 B (A)p 随着 的增加而增加.(B)p 随着 的增加而增加.(C)p 随着 的增加而减少.(D)p 随着 的增加而减少.8. 设随机试验 E 有三种两两不相容的结果
2、A1, A2, A3, 且三种结果发生的概率均为 1 3, 将试验 E 独立重复做两次, X 表示两次试验中结果 A1发生的次数, Y 表示两次试验中结果 A2发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为 A (A)12.(B)13.(C)1 3.(D)12.二、填空题：914 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.9. lim x0x0tln(1 + tsint) dt1 cosx2=1 2.10. 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)i + xyj + zk 的旋度 rotA = j + (y 1)k .11. 设函数 f(u, v) 可微, z = z(x, y) 由
3、方程 (x + 1)z y2= x2f(x z, y) 确定, 则dz|(0,1)= dx + 2dy .12. 设函数 f(x) = arctanx x 1 + ax2, 且 f(0) = 1, 则 a =1 2.13. 行列式?100010001432 + 1?= 4+ 3+ 22+ 3 + 4 .14. 设 X1, X2, , Xn为来自总体 N(, 2) 的简单随机样本, 样本均值 X = 9.5, 参数 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8, 则 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 (8.2, 10.8) .三、解答题：1523 小题, 共 94 分. 解答
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）已知平面区域 D = (r, ) | 2 r 2(1 + cos), 2 2 ,计算二重积分Dxdxdy.数学（一）试题及解答 第 2 页（共 7 页）解 换成极坐标计算,Dxdxdy = 22d2(1+cos)2rcos rdr= 16 20( cos2 + cos3 +1 3cos4) d= 16(12 2+2 3+1 33 41 2 2)=32 3+ 5.16.（本题满分 10 分）设函数 y(x) 满足方程 y+ 2y+ ky = 0, 其中 0 0) F(1) 0, F(2) Y.( I ) 写出 (X, Y ) 的概率
5、密度;(II) 问 U 与 X 是否相互独立？并说明理由;(III) 求 Z = U + X 的分布函数 F(z).( I ) 解 f(x, y) = 1Dd,(x, y) D,0,其他,= 3,(x, y) D,0,其他.(II) 解 设 0 Y, X b =3 2b2 b3,P U a = P X Y =1 2, P X b = 2b3 2 b3,P U a, X b = P U a P X b, 即 U 与 X 不独立.(III) 解 F(z) = P U + X z = P U + X z, U = 0+P U + X z, U = 1= P X z, X Y + P 1 + X z,
6、 X Y = 0,z 0,3 2z2 z3,0 z 1,1 2,z 1+ 0,z 1,2(z 1)3 23 2(z 1)2,1 z 2,1 2,z 2= 0,z 0,3 2z2 z3,0 z 1,1 2+ 2(z 1)3 23 2(z 1)2,1 z 2,1,z 2.23.（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为f(x; ) = 3x2 3,0 x ,0,其他,其中 (0, +) 为未知参数, X1, X2, X3为来自该总体 X 的简单随机样本, 令T = max(X1, X2, X3).数学（一）试题及解答 第 6 页（共 7 页）( I ) 求 T 的概率密度;(II) 确定 a, 使得 aT 为 的无偏估计.( I ) 解 FT(t) = P T t = P max(X1, X2, X3) t = (P X1 t)3即 FT(t) = 0,t 0,(t03x2 3d)3 ,0 z ,1,t fT(t) = 9t8 9,0 z ,0,其他.(II) 解 EaT =RatfT(t)dt令= a =10 9.数学（一）试题及解答 第 7 页（共 7 页）
