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1、整数直角三角形群及其应用示例整数直角三角形群及其应用示例吴敏金 （）所谓整数直角三角形是指直角三角形的斜边与两条直角边的长度都是整数。如，人们熟知的“勾三股四弦五” ，即 32+ 42=52。较早涉及整数直角三角形问题的有 Project Euler1。 虽然有些文献2,3考察了整数直角三角形的部分性质，但不能完整地有效地回答对于给定 一整数边长作为直角边（或斜边或周长）能否构成整数直角三角形以及如何构成等问题。 对此，本文将完整地考察整数直角三角形构成及其性质；给出构成整数直角三角形的快速 算法；进而考察整数直角三角形的运算及其构成交换群与特性，并导出有理角群；作为应 用，考察有理角的 Lo
2、gistic 混沌序列。一、整数直角三角形基本解的通式记整数直角三角形为a,b,c：a2+b2 =c2 (0q0，p=2m+1,q=2n+1 a=pq=(2m+1)(2n+1).（奇数）b=(p2 -q 2)/2 =2(m(m+1)-n(n+1).（倍数） （式 ）c= (p 2+q 2)/2= 2(m(m+1)+n(n+1)+1.（倍数+1） 。 可得整数直角三角形基本解a,b,c。其全体呈【奇，偶，奇】形式，记为 Z0 。 整数直角三角形的通式的另一等价形式： 对于任意的互质的一奇一偶数 : mn0,a=m2-n2 b=2mn（式 ）c=m2+n2 将式（或式）所得的整数直角三角形基本解a
3、,b,c中的 a,b 交换位置，得另一个整 数直数角三角形基本解b,a,c，称之为a,b,c的补元。集合 Z0中的整数直角三角形基本解的 补元全体呈【偶，奇，奇】形式，记为集合 Z1。集合 Z0与集合 Z1互为补集。 这样，整数直角三角形基本集 Z 是由其通式（式或式）所得的 Z0及其补集 Z1与 零元1,0,1所组成的。于是有， 【定理】 整数直角三角形基本解的两条直角边必一为奇数，另一为倍数；而斜 边必为倍数+1。 【定理】 当且仅当对于给定的任意奇数或倍数作为直角边均可构成整数直角三 角形基本解；只有倍数+1 作为斜边才可能整数直角三角形基本解，但不是所有的倍数 +1 都能构成的整数直角
4、三角形基本解（进一步的结论见下一节的） 。若干整数直角三角形基本解数据见附。二、求解整数直角三角形基本解的快速算法 对于给定一整数作为直角边（或斜边或周长） ，直接用(式或式)求解整数直角三角 形基本解a,b,c较为麻烦，需对整数 a（或 b）进行质因子分解。对此，给出整数直角三角 形基本解通式的又一种表达： 令 p=q+2k (k0)，则有a=q 2+2kq， b=2kq+2k 2, （式）c=q 2+2kq+2k 2 下面分别针对不同情况给出快速的求解算法。 ()，已知奇数 a，作为直角边，求解整数直角三角形基本解由（式） ，q=sqrt(k 2+a)-k，sqrt 为开平方。 令 K=m
5、ax(k). 由 K 2+a=(K+1) 2，K=(a-1)/2。故 k 必在1, (a-1)/2。 对于所有的 k 从到 K, 计算 sqrt(k 2+a)。如为整数，则求得 q 与 p, 进而得a,b,c。 （至少有一解，即 k=(a-1)/2。 ） 例如，a=45, 则 K=22。k=2,q=sqrt(2 2+45)-2=5,p=5+2*2=9; 得整数直角三角形基本解 45,28,53； k=22,q=sqrt(22 2+45)-22=1,p=1+2*22=45, 得整数直角三角形基本解45,1012,1023。 其他的 k=1,3,21 均无解。【推论】 当 a 为质数或质数的次方，
6、a=pn, 则仅有唯一的奇，偶，奇 形式的整 数直角三角形基本解 pn, ( pn-1)/2, (pn+1)/2。 (2)，已知 4 倍数 b，作为直角边，求解整数直角三角形基本解 由（式）, q=b/(2k)-k， k0 kpi/2, 则 stt；若 s0; 如 tpi/2, 则 tn-pi; 如 td) 于是,a2 =ed （式 1） 进而有 b=(e-d)/2, c=(e+d)/2 （式 2）对于给定的 a，a2的各质因子被分解为两部分，分别赋予 e 及 d。 根据 a 的不同情况：可分别求解 b,c。 (1), 当 a 为奇数时， 令 a=pq, (p,q 为奇数，互质无公因子，pq0
7、)。由式知，e=p 2 , d=q 2。于是由（式 2） ，令 p=2m+1,q=2n+1，(整数 mn=0，(2m+1)与(2n+1) 无公因子)，b=(p 2 -q 2)/2 =2(m(m+1)-n(n+1) 由此可见，b 是倍数。 (下一节将看到，任意一个倍数均可找到适当的 p 与 q, 表示成(p 2 -q 2)/2。) c= (p 2+q 2)/2 =2(m(m+1)+n(n+1)+1由此可见，c 是倍数+1。 (应当注意到，并非所有的倍数+1 都表示成(p 2+q 2)/2， 如 21, 33 等)。 此时，整直角三角形基本解a,b,c呈奇，偶，奇，且 b 为倍数，c 为倍数+1。
8、 以 a=45 为例，a=45*1=9*5，有个整直角三角形基本解a,b,cpqabc451451012102395452853对于任意的互质奇数 pq0，由 a=pq=(2m+1)(2n+1)，b=(p 2 -q 2)/2 =2(m(m+1)-n(n+1)， （式） c= (p 2+q 2)/2= 2(m(m+1)+n(n+1)+1 所得的整直角三角形基本解a,b,c全体，记为 Z0 。它是整直角三角形基本集 Z 的重要组成 部分。 (2)，当 a 为偶数，a=2w（w 为奇数）时，a=2pq, 由式知 e=2p 2 , d=2q 2。于是由（式 2） ， b=(p 2 -q 2) c= (
9、p 2+q 2) 可见，a,b,c有公因子。a,b,c 分别除以公因子后，可转化为整直角三角形基本解。所 以，当 a 为偶数，且 a=2w（w 为奇数）时，无整直角三角形基本解；(3), 当 a 为偶数，且 a=2kw（w 为奇数，k1）, 即 a 为倍数时， a=2k pq，(p,q 为奇数，互质无公因子，p,q0)。由式知 e 及 d 分别为 2(2m+1) 2及 22k-1(2n+1) 2。于是由（式 2） ， b=abs(p 2 -22k-2 q 2 ),（abs 为取绝对值） c= p 2+22k-2 q2=4m 2+4n 2+1+22k-2 q 此时整直角三角形基本解a,b,c呈偶
10、，奇，奇，且 a 为倍数，c 为倍数1。 以 a=84=4*7*3=4*21*1，(k=2), 有 4 个整直角三角形基本解a,b,cpqabc7384=22*7*313853784=22*3*71820521184=22*21*14374451211084=22*1*2117631765而且，对于任意互质奇数 p,q0，由a=2k pq， （k1） b=abs(p 2 -22k-1 q 2)， （式） c= p 2+22k-1 q2 所得的整直角三角形基本解a,b,c的全体，记为记为 Z1 。它也是整直角三角形基本集 Z 的 组成部分。Z 0的元素a,b,c交换 a,b 的位置即为 Z1的元素b,a,c。反之也然。 综上所述，整数直角三角形基本集 Z 是由 Z0与其补集 Z1及零元1,0,1所组成的。【附：整数直角三角形基本解通式(1)导出的若干数据】表列出 a=3,37 的整数直角三角形的基本解表列出 b=4,48 的整数直角三角形的基本解表 3 列出 c=5,113 的整数直角三角形的基本解
