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1、第五章 学习小结 一、插值 插值的目的： 设 y=f（x）为定义在a,b上的实值函数，已知 f（x）在该区间中 n+1 个互不相同的点处的值是nxxxL,10 ., a, 2 , 1 , 0处的值中某点在估计 xxbxfnixfyiiL插值的作法：选定一个逼近函数类中求出满足条件的函数， 在, niyxii,2 , 1 , 0pL xp并以的估值。 xfxp作为为插值节点.，为插值 为插值函数，为被插值函数，xxfpnxxxL,10 iiyxp条件。插值条件为 niyxii,2 , 1 , 0pL一般插值函数类的函数表示：插值函数类： ，是点集上一 xinxxx,10L组线性无关的函数。 插值
2、函数插值基函数由于插值基函数组是点集上线性无关，所以满足插值条件 xinxxx,10L的 n 次插值多项式是存在且唯一的。 xpn误差估计：-插值余项（截断误差）定理 5.1 设是互异的实数，对于给定的实数 x，实值函数nxxxL,10n+1 阶导数，则插值公式的余项为上具有在区间xtIf xnfxRnnn11!1其中 nnxxxxxxxxxIL101.且依赖于1.1. LagrangeLagrange 插值插值 （1）Lagrange 插值基函数 （2）Lagrange 插值多项式插值条件：)(,),(),(10xxxspannL)()()()(1100xcxcxcxpnnL)(,),(),
3、(10xxxnLnkxxxxxlnkjjjkj k, 2 , 1 , 0,)(0L), 2 , 1 , 0(),(nixfyiiL ), 2 , 1 , 0( ,)(niyxpiinL)()(0xlyxpknkkn knkjjjkjnkyxxxx00)()()(xpxfxRnn当 n=1 时为线性插值当 n=2 时是二次插值（抛物插值）(3)节点的选取原则 根据插值点，插值节点居中原则选择 (4)分段低次插值多项式分段低次插值多项式 分段线性插值的几何意义：将插值点用折线段连接起来逼近 xf(5)Lagrange 插值多项式的特点:直观对称，易建立插值多项式；但无继承性。 2.2. Newto
4、nNewton 插值插值 (1)差商及其性质差商的定义：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的(即nxxxL,10在)的值,称jixxji 时 ixf为在点处的一阶差商，并记作 xfjixx ,jixxf,又称)()()(11001xlyxlyxp1 010 0 101yxxxxyxxxx )()()()(2211002xlyxlyxlyxp2 120210 1 010120 0 201021 )()()()( )()()()( )()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxx ),()()(,ji jiji jixxjixxxfxfxxf,()ikij ijk
5、kjf xxf xxf xxxikxx为在点处的二阶差商。 xfkjixxx,为在点处的 k 阶差商。 xfkxxxL,10差商的性质: 性质 1 (差商与函数值的关系)记则 nxxxxxxxL10 niii nxxfxxxf010,L性质 2 （对称性）差商的值与结点排列顺序无关，即性质 3 (差商与导数的关系)设使得 bbaxxxnbxfn, a,1, a10则存在阶导数，且上有在L !,10nfxxxfnnL(2)Newton 插值的基本思想令插值多项式形式为其中 插值条件:(3)Newton 插值多项式 (4)Newton 插值余项0121,kkkf xxxxxA01201211, ,
6、 ,kkkkkkf x xxxf x xxx xx AA00,ijnjinfxxxxfxxxxLLLLLL)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxNLLnixfxNiin, 1 , 0),()(L)(00xfa ,101xxfa ,2102xxxfa nkxxxfakk, 2 , 1 , 0,10L )()(,)(,)(,)()(110210102100100nnnxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxNLLL(5)差商与微商的关系(6)Newton 插值的特点 a、在节点增加时有递推性 b、Newton 余项更具有一般性。当 f（x）的高
7、阶导数不存在时，仍然适用。 3.Hermite3.Hermite（埃尔米特）插值（埃尔米特）插值 (1)Hermite 插值问题（带导数条件的代数插值问题）(2)Hermite 插值问题的存在唯一性(3)Hermite 插值多项式的构造设在节点 上, bxxxanK10要求插值多项式,满足条件 xH构造方法： a.待定系数法:解线性方程组（定理 5.2 的方法） b.基函数方法（Lagrange 形式的插值方法） 构造插值基函数 每个都是 2n+1 次多项式，并满足)(,)()()(110xxxxxfxNxfxRnnnn xnnInfxxxxf,)!1()(,)1(10 ,0,1,iiiiyf
8、 xyfxin ,0,1,.iiiiH xy Hxy innjxxjj, 2 , 1 , 0),(),(L ,0,0,1,0,.,0,1,jkjkjkjkjkjkxxj knxxj kn0, 1,jkjk jk 21 0.nnjjjj jHxyxyx 其中 xlxxxjjj2(4)Hermite 插值问题余项 4.4.样条插值样条插值 (1)k 次样条函数的定义(分段多项式的光滑连接)(2)样条函数空间 的基 的一组基(3)K 次样条函数的表示 20112.njjj kjkkjxxxlxxx ,kD 1, 2 , 1,)( , 2 , 1 , 0,njxxkjxk jjLL)( ,)( , 1112 ,k nkk kxxxxxxxspanDLL,kD(4)三次样条插值
