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1、2. 1 数和数制数和数制2.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题有符号二进制数的表示方法及溢出问题2.3 定点数和浮点数定点数和浮点数 2.4 二进制编码的十进制数二进制编码的十进制数(BCD编码编码) 2.5 ASCII字符代码字符代码第第 2 章 计算机中的数制和码制章 计算机中的数制和码制返回主目录第第 2 章计算机中的数制和码制章计算机中的数制和码制计算机的最基本功能是进行数据的计算和处理加工。 数在计算机中是以器件的物理状态来表示的。为了方便和可 靠， 在计算机中采用了二进制数字系统，即计算机中要处理的所有数据，都要用二进制数字系统来表示，所有的字母、符号也都要用二进制编码来表示
2、。在本章中，我们将介绍计 算机中数制和码制的有关预备知识，其中有些内容已在“计算机应用基础”和“脉冲与数字电路”课程中讲过。 由于它是学习微型计算机原理必不可少的基础知识，所以有必要进行复习。2.1 数和数制 数和数制 2.1.1各种数制及其多项式表示法各种数制及其多项式表示法 在人们应用各种数字符号表示事物个数的长期过程中形成了各种数制。数制是以表示数值所用的数字符号的个数来命名的，如十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。各种数制中数字符号的个数称为该数制的基数。一个数可以用不同计算制表示它的大小，虽然形式不同，但数的量值则是相等的。在日常生活中，最常用的是十进制。1. 十进制数十进制数
3、十进制采用 09 十个数字和一个小数点符号来表示任意 十进制数。例如，374.53 代表百位为 3，十位 7，个位为 4， 十分位为 5， 百分位为 3 的十进制数。同一个数字在不同的 数位代表的数值是不同的。这种记数方法称为位置记数法。 在位置记数法中，对每一个数位赋以不同的位值，称为“权”。 对于十进制，每个数位上的权是 10 的某次幂，个位、十位及 百位的权分别为 1、10 及 10 2，十分位、百分位的权分别为 10-1和 10-2。每个数位上的数字所表示的量是这个数字和该数 位的权的乘积。因此，任意十进制数可按权展开为 10 的幂多 项式。例如，374.53 的多项式表示形式为： 3
4、102+7101+4100+510-1+310-2 对于n位整数m位小数的任意十进制数N， 可用多项式表示如下： N10=Kn-110n-1+Kn-210n-2+K1101+K0100+K-110-1 +K-210-2+K-(m-1)10-(m-1)+K-m10 inmiik 101 其中i表示数的第一位； Ki表示第i位的数字，它可以为 09 中的任一数字；m和n为正整数。式中 10 为十进制的基 数。 2. 二进制数 二进制数 人们习惯用十进制计数，但在电子计算机中， 数是以器件的物理状态来表示的，计算机中采用双稳态电子器件作为 保存信息的基本元件，因此计算机中采用二进制数。 在二进制中，
5、只有 0 和 1 两个数字。二进制数同样采用位置记数法， 它的基数为 2，每个数位上的权是 2 的某次幂。 对于n位整数m位小数的任意二进制数N 2， 可以用多项式表示如下：）或10(212iinmiikkN例如(1101.011)2=123+122+021+120+02-1+12-2 +12-3 3. 十六进制数 十六进制数 计算机中采用二进制数， 优点是物理实现容易且运算特别简单，缺点是书写冗长。因此常用十六进制(或有时用八进制)代替二进制来书写数据。在十六进制中， 有 0，1，,9,A,B,C,D,E,F等十六个数字符号， 其中A、B、C、D、E、F分别与十进制中的 10、11、12、1
6、3、14、15 这 6 个数相对应。十六进制数同样采用位置记数法，其基数 16， 每一数位上的权是 16 的某次幂。 对于n位整数m位小数的任意十六进制数N16，可以用多项式表示如下： inmiikN16.116(Ki=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)例如(10AF.12)16=1163+0162+10161+15160+116-1+216-2 实际表示时，一个十六进制数如果最高位数字为字母(A-F)， 则字母前面必须加一个 0，以便与变量名等相区别。 表 2.1 给出了以上三种数制的对应关系。为避免混淆，可在数字的后面加填不同数制的区分符。 区分符可以是数字角
7、注， 例如 53710或 537(十进制)，11012(二进制)，0EA216(十六进制)，也可以用字母标注，其中字母B(Binary)表示为二进制数；字母D(Decimal)或不加字母表示为十进制数；字母H(Hcxadccimal)表示为十六进制数。一般来说， 对于基数为X的任一数可以用多项式表示为inmiiXXKN.1Ki第i位的系数，可以为 0，1，,(X-1)共X个数字符号中任一数字符号； m,n幂指数，均为正整数； Xi第i位的权。2.1.2各种数制的相互转换 各种数制的相互转换 1. 非十进制数转换成十进制数非十进制数转换成十进制数 非十进制数转换成十进制数比较简单，可先将其按定义
8、 展开为多项式，再将系数及权均用十进制表示按十进制进行 乘法与加法运算，所得结果即为该数对应的十进制数。 例 2.1.1 将二进制数 1101.101 转换为十进制数。转换过程如下： 1101.101B =123+122+021+120+12-1+02-2+12-3=8+4+1+0.5+0.125 =13.625 1101.101B=13.625 例 2.1.2 将十六进制数2AE.4转换为十进制数。 2AE.4H =2162+10161+14160+416-1 =512+160+14+0.25 =686.25 2AE.4H=686.252. 十进制数转换成非十进制整数 十进制数转换成非十进制
9、整数 (1) 十进制整数转换成非十进制整数 设N为任一十进制整数， 若要把它转换成n位X进制整 数， 则N = (2 - 5) 01 12 21 110KXkXkXkXkn nn ninii 显然, 等式右边，除了最后一项K0以外，其余各项都包含 基数X的因子，都能被X除尽。 所以等式两边同除以基数X， 余数正是要求的X进制数的最低位K0。商为K n-1X n-2+ K n-2X n-3+K2X 1+K1 同理，上式中各项除K1外，其余各项都包含基数X的因 子，都能被X除尽。所以再将商除以X，余数正是要求的X进 制数的次低位K1, 商为K n-1X n-3+Kn-2Xn-4+K3X1+K2 如
10、此一直进行下去， 直到商等于 0 为止，就得到一系列 余数，它们正是要求的X进制数的各位。这样我们可以把十进制整数转换为X进制整数的方法总 结为用该数或商“除以基数取余数，先为低位后为高位”。 例 2.1.3 将十进制数 301 转换为二进制数。 转换过程如下： (2) 十进制小数转换成非十进制小数 设N为任一十进制小数， 若要把它转换为m位X进制小 数，则N= =K-1X-1+K-2X-2+K-mX-m (2 - 6) 等式两边同乘以基数X， 得到K-1+K -2X-1+K-3X-2 +K-mX-m+1 其中K-1为整数部分，它正好是所要求的X进制小数的最 高位；而新的小数部分为K-2X-1
11、+K-3X-2+K-mX-m+1 若再将上式乘以X便得到K-2+K-3X-1+K-mX-m+2 imiiXk1K-2为整数部分，它正好是所要求的X进制小数的次高位。如此继续进行下去，直到小数部分为零时止。若乘积的小数 部分始终不为 0，说明相对应的X进制小数为不尽小数。这 时， 乘到能满足计算机精度要求为止。 综上所述，我们可以 把十进制小数转换为相应X进制小数的方法总线为对该小数或 乘以X后新的小数部分“乘以基数取整数，先为高位后为低位”。例 2.1.5将 0.6875 分别转换为二进制及十六进制小数。 转换为二进制的过程如下： 0.68752=1.375K-1 =1 0.3752=0.75
12、K-2 =0 0.752=1.5 K-3 =10.52=1.0 K-4 =1 0.6875=0.1011B 转换为十六进制的过程如下： 0.687516=11.0 K-1 = B 0.6875=0.BH 例 2.1.6将 0.734 转换为二进制小数。 转换过程如下： 0.7342=1.468 K-1=1 0.4682=0.936 K-2=0 0.9362=1.872 K-3 =1 0.8722=1.744 K-4 =1 0.7442=1.488 K-5 =1 0.4882=0.976 K-6 =0 0.734=0.10110B上面我们分别讨论了十进制整数转换为非十进制整数和十进制小数转换为非
13、十进制小数的方法。如果一个任意十进 制数要转换为非十进制数， 我们可以把整数部分和小数部分分别加以转换，然后把转换后的整数部分和小数部分相加。例 2.1.7将十进制数 301.6875 分别转换为二进制和十六 进制数。利用例 2.1.3、 例 2.1.4 和例 2.1.5 的结果， 得到： 301=100101101B,0.6875=0.1011B 301=12DH,0.6875=0.BH 301.6875=100101101.1011B 301.6875=12D.BH 3. 十六进制数与二进制数之间的转换 十六进制数与二进制数之间的转换 由于 16=2 4, 故 1 位十六进制数相当于 4
14、位二进制数。 这样，十六进制数与二进制数之间的相互转换是十分简便的。二进制数转换为十六进制数的方法是： 首先从小数点开始分别向左和向右把整数及小数部分每 4 位分成一组。 若整数最高位的一组不足 4 位，则在其左边加 0 补足 4 位；若小数最低位的一组不足 4 位，则在其右边加 0 补足 4 位。然后， 用与每组二进制数所对应的十六进制数取代每组的 4 位二进制数，即得到对应的十六进制数。例 2.1.8二进制数 1011101001.110101 转换为十六进制数的方法是： 二进制数0010 1110 1001. 1101 0100 十六进制数2 E 9 . D 4十六进制数转换为二进制数的
15、方法是： 用相应的 4 位二进制数取代每 1 位十六进制数。例 2.1.9十六进制数 5C7A.3B 转换为二进制的方法是：十六进制数5 C 7 A . 3 B二进制数0101 1100 0111 1010 . 0011 1011 5C7A.3BH=101110001111010.00111011B 2.1.3二进制数的算术运算 二进制数的算术运算 二进制计数制不仅物理实现容易，而且运算方法也较十进制计数制大为简单。注意到二进制数加法是“逢二进一”和减法是“借一作二”的特点，再根据十进制数算术运算的方法，很容易理解和完成二进制数的算术运算。 例 2.1.1010110101B+1111B。 加法过程如下： 被加数10110101 加数00001111 进位 + 111111和1100010010110101B+111B=11000100B 由此可见，两个二进制数相加时，每 1 位有 3 个数(本 位被加数和本位
