《常用空间曲面》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常用空间曲面（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 常用空间曲面 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。在一般情况下，如果曲面S与三元方程 ( , , )0F x y z （1） 有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都 满足方程（1） ；（2）不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面S的方程， 而曲面S就叫做方程（1）的图形（图 6-21） 。 象在平面解析几何中把平面曲线 当作动点轨迹一样，在空间解析几何 中，我们常把曲面看作一个动点按照 某个规律运动而成的轨迹。 运用这个观点，我们来建立球面
2、方程。例 1 若球心在点0000(,)Mxyz，半径为R，求该球面方程。解：设( , , )M x y z是球面上任一点，那么0M MR又 222 0000()()()M Mxxyyzz故 2222 000()()()xxyyzzR（2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以0000(,)Mxyz为球心，R为半径的球面方程。如果球心在原点，那么0000xyz，从而球面方程为2222xyzR 将（2）式展开得222222 0000002220xyzx xy yz zxyzR 所以，球面方程具有下列两个特点： （1）它是, ,x y z之间的二
3、次方程，且方程中缺,xy yz zx项；（2）222,xyz的系数相同且不为零。现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？例 2 方程22240xyzxy表示怎样的曲面？ 解：配方，得222117(2)()24xyz所以所给方程为球面，球心为1(2,0)2 ，半径为17 2。例 3 方程2222230xyzxyz是否表示球面？ 解：配方，得图 6-21xyzOS( , , )0F x y z 22213(1)(1)()24xyz 显然没有这样的实数, ,x y z能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量
4、 , ,x y z间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。 （1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。 （2）已知坐标, ,x y z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。例 1 是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例 2、例 3 是由已知, ,x y z间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。 下面，作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子， 我们讨论柱面和二次曲面。 二、旋转曲面二、旋转曲面 一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。旋转曲线 和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。设在y
5、 zO坐标面上有一条已知曲线C，它的方程为( , )0f y z ，曲线C绕z轴旋转 一周，得到一个以z轴为轴的旋转曲面（图 6-22）设111(0,)My z为曲线C上一点，则有11(,)0f y z（3）当曲线C绕z轴旋转时，点1M随C绕到另一点( , , )M x y z，这时，1zz且点M到z轴的距离为 22 1dxyy将1zz，22 1yxy 代入（3）式，便 得到22(, )0fxyz（4） 这就是所求的旋转曲面的方程。由此可知，在曲线C的方程( , )0f y z 中将y改成22xy便得曲线C绕z轴旋 转所成的旋转曲面的方程。同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为22( ,
6、)0f yxz（5）例 1求y zO坐标面上的抛物线22(0)ypz p绕z轴旋转而成的旋转曲 面的方程。 解：绕z轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面（图 6-23） ，它的方程为222xypz例 5 将x zO坐标面上的双曲线( , , )M x y z图 6-22yxO( , )0f y z z111(0,)My z图 6-23xzyO22221xz ac分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 解：绕z轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为222221xyz ac绕x轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为222221xyz ac例 6 直线L绕另一条
7、与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角（02 ）叫做圆锥面的半顶角。试建立 顶点在原点O，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面的方 程（图 6-24） 。解：在y zO坐标面上直线L的方程为cotzy，因为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的y改成22xy， 便得到这圆锥面的方程22cotzxy 或 2222()zkxy其中cotk。 三、柱面三、柱面设直线L平行于某定直线并沿定曲线C移动，则直线 L形成的轨迹叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，直线 L叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线 垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？下面
8、举例说明。问方程222xyR表示什么曲面？在x yO坐标面上，方程222xyR表示圆心在原点，半径为R的圆。在空间直角坐 标系中，方程缺z，这意味着不论空间中的点的竖坐标z怎样，凡是横坐标x和纵坐标 y满足这方程的点都在方程所表示的曲面S上；反之，凡是点的横坐标x和纵坐标y不满足这个方程的，不论竖坐标z怎样，这些点都不在曲面S上，即点( , , )P x y z在曲面S上x图 6-24yz图 6-25xyzO( , , )P x y z图 6-26xyzO的充分必要条件是点( , ,0)P x y在圆222xyR上。而( , , )P x y z是在过点( , ,0)P x y且平行于z轴的直
9、线上，这就是说方程222xyR表示：由通过x yO坐标面上的圆222xyR上的每一点且平行于z轴（即垂直于x yO坐标面）的直线所组成，即方程 222xyR表示柱面，该柱面称为圆柱面（图 6-25） 。一般地，如果方程中缺z，即( , )0f x y ，类似于上面的讨论，可知它表示准线在 x yO坐标面上，母线平行于z轴的柱面。而方程( , )0, ( , )0g y zh x z分别表示母线平行 于x轴和y轴的柱面方程。例如方程2yx，方程中缺z，所以它表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是 x yO面上的抛物线2yx，该柱面叫做抛物柱面（图 6-26） 。又例如，方程0xz表示母线平行于y轴
10、的柱 面，其准线是x zO面上的直线0xz，所以它是过y轴的平面（图 6-27） 。四、二次曲面四、二次曲面 最简单的曲面是平面，它可以用一个三元一次方程 来表示，所以平面也叫做一次曲面。与平面解析几何中 规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程 ( , , )0F x y z 所表示的曲面称为二次曲面。选取适当的 空间直角坐标系，可得它们的标准方程，下面就二次曲 面的标准方程来讨论二次曲面的形状。 （1）椭圆锥面 22 2 22xyzab以垂直于z轴的平面zt截此曲面，当0t 时得一点(0,0,0)；当0t 时，得平面zt上的椭圆22221()()xy atbt当t变化时，上式表示一族长短轴比
11、例不变的椭圆，当 t从大到小变为 0 时，这族曲线从大到小并缩为一点。 综合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状（如图 6- 28）平面zt与曲面( , , )0F x y z 的交线成为截痕。通过综合截痕的变化来了解曲面形 状的方法称为截痕法。 本节前面讨论过旋转曲面，我们还可以利用伸缩变形的方法，由已知的旋转曲面来得 出二次曲面的大致形状。先介绍伸缩变形法。曲面( , , )0F x y z 沿y轴方向伸缩倍，曲面( , , )0F x y z 的点111( ,)M x y z变为点222(,)M xyz，其中1212121,xxyyzz ，因为点M在曲面( , , )0F x y z 上，
12、所以有111( ,)0F x y z，故2221(,)0F xyz 。例如将圆锥面22 2 2xyza 的图形沿y轴方向伸缩b a倍，则圆锥面22 2 2xyza 即变图 6-27xyzOx图 6-28yz成椭圆锥面22 2 22xyzab 。 （2）椭球面 2222221xyz abc把x yO面上的椭圆22221xy ab 绕y轴旋转，所得的曲面方程为222221xzy ab ，该曲 面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿z轴方向伸缩c a便得椭球面（2） （图 6-29） 。（3）双曲面 单叶双曲面 2222221xyz abc双叶双曲面 2222221xyz abc把x zO面上的双曲线2
13、2221xz ac 绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面222221xyz ac ，把此旋转曲面沿y轴方向伸缩b a倍，即得单叶双曲面（如图 6-30） 。类似的方法可得双叶 双曲面（如图 6-31）（4）抛物面椭圆抛物面 2222xyzab双曲抛物面（马鞍面）2222xyzab把x zO面上的的抛物线22xza 绕z轴旋转，得旋转抛图 6-30yxzOOzyx图 6-31图 6-29yzxO图 6-32xyzO物面222xyza ，把此旋转曲面沿y轴方向伸缩b a，即得椭圆抛物面（如图 6-32） 。 我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状（如图 6-33） 。用平面xt截此曲面，得截痕 l为平面xt上
14、的抛物线 2222ytzba此抛物线开口向下，其顶点坐标为22,0,txt yza 。当t变化时，l的形状不变，只是位置平移，而l的顶点的轨迹L为平面0y 上的抛物线22xza 。还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面2222 2 22221,1,xyxyyaxabab依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。 柱面的形状在前面已经讨论过，这里不再 冗述。 习题 6-61建立以点(1, 3, 2)M为球心，且过 原点的球面方程。2将x yO面上的抛物线24yx分别绕x轴，y轴旋转，分别求出旋转后所得的 曲面方程。3一动点与点(1,0,0)M的距离为与平 面4x 的距离的一半，试求其所生成的轨迹
15、，并确定它为何种二次曲面。 4说明下列二次曲面的名称，若它们是旋转曲面，那么，是怎样生成的？（1）222 1499xyz ；（2）2 2214yxz ；（3）2221xyz（4）222zxy；（5）22zxy；（6）226zxy。 5指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中所表示的不同意义：（1）3x ；（2）2yx；（3）229xy；（4）221xy6指出下列各方程在空间解析几何中所表示的几何图形，并作出它们的草图：（1）2221xyz；（2）221xy；（3）21x ；（4）220xy；（5）22 149xy ；（6）22 119xy ；（7）20yz；（8）22zx。图 6-33xyzO
