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1、习题 751 求过点(3 0 1)且与平面 3x7y5z120 平行的平面方 程 解 所求平面的法线向量为 n(3 7 5) 所求平面的方程 为3(x3)7(y0)5(z1)0 即 3x7y5z40 2 求过点 M0(2 9 6)且与连接坐标原点及点 M0的线段 OM0垂直的平面方程 解 所求平面的法线向量为 n(2 9 6) 所求平面的方程 为2(x2)9(y9)6(z6)0 即 2x9y6z1210 3 求过(1 1 1)、(2 2 2)、(1 1 2)三点的平面方程 解 n1(1 1 2)(1 1 1)(0 2 3) n1(1 1 2)(2 2 2)(3 1 0) 所求平面的法线向量为k
2、jikji nnn693 01332021所求平面的方程为3(x1)9(y1)6(z1)0 即 x3y2z0 4 指出下列各平面的特殊位置 并画出各平面 (1)x0 解 x0 是 yOz 平面 (2)3y10 解 3y10 是垂直于 y 轴的平面 它通过 y 轴上的点 ) 0 ,31, 0(3)2x3y60 解 2x3y60 是平行于 z 轴的平面 它在 x 轴、y 轴上的 截距分别是 3 和2 (4) 03 yx解 是通过 z 轴的平面 它在 xOy 面上的投影的03 yx斜率为 33(5)yz1 解 yz1 是平行于 x 轴的平面 它在 y 轴、z 轴上的截距 均为 1 (6)x2z0 解
3、 x2z0 是通过 y 轴的平面 (7)6x5z0 解 6x5z0 是通过原点的平面 5 求平面 2x2yz50 与各坐标面的夹角的余弦 解 此平面的法线向量为 n(2 2 1) 此平面与 yOz 面的夹角的余弦为 32 1) 2(22 | | |) ,cos(cos122ininin此平面与 zOx 面的夹角的余弦为 32 1) 2(22 | |) ,cos(cos122jnjnjn此平面与 xOy 面的夹角的余弦为 31 1) 2(21 | |) ,cos(cos122knknkn6 一平面过点(1 0 1)且平行于向量 a(2 1 1)和 b(1 1 0) 试求这平面方程 解 所求平面的
4、法线向量可取为 kjikji ban3 011112 所求平面的方程为(x1)(y0)3(z1)0 即 xy3z40 7 求三平面 x3yz1 2xyz0 x2y2z3 的交点 解 解线性方程组3220213zyxzyxzyx得 x1 y1 z3 三个平面的交点的坐标为(1 1 3) 8 分别按下列条件求平面方程 (1)平行于 zOx 面且经过点(2 5 3) 解 所求平面的法线向量为 j (0 1 0) 于是所求的平面为0(x2)5(y5)0(z3)0 即 y5 (2)通过 z 轴和点(3 1 2) 解 所求平面可设为 AxBy0 因为点(3 1 2)在此平面上 所以3AB0 将 B3A 代入所设方程得Ax3Ay0 所以所求的平面的方程为x3y0 (3)平行于 x 轴且经过两点(4 0 2)和(5 1 7) 解 所求平面的法线向量可设为 n(0 b c) 因为点(4 0 2)和 (5 1 7)都在所求平面上 所以向量 n1(5 1 7)(4 0 2)(1 1 9)与 n 是垂直的 即b9c0 b9c 于是 n(0 9c c)c(0 9 1)所求平面的方程为9(y0)(z2)0 即 9yz20 9 求点(1 2 1)到平面 x2y2z100 的距离解 点(1 2 1)到平面 x2y2z100 的距离为 1221|1012221 |222d
