《新人教b版高中数学（选修2-3）1.3.2《杨辉三角》word教案之一》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教b版高中数学（选修2-3）1.3.2《杨辉三角》word教案之一（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、132“杨辉三角”与二项式系数的性质课标要求：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图 151 提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：2 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一、复习引入：
2、1二项式定理及其特例：（1） ，01() ()nnrnnabCabCbN （2） .rnnxx 2二项展开式的通项公式： 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆1rrT3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要r注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当 依次取 时，二 项 式 系()nabn1,23数 表 ， 表 中 每 行 两 端 都 是 ， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个1数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆2二项式系数
3、的性质：展开式的二项式系数是 ， ， ， 可以看成()nab0nC12nnCr以 为自变量的函数r()fr定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图）0,12, 67（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（） mnC直线 是图象的对称轴2r（2）增减性与最大值 ，1(1)2()!k kn nCCk 相对于 的增减情况由 决定， ，knC1kn1nk112nkn当 时 ， 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ， 且 在 中 间2取 得 最 大 值 ；当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项
4、， 取得最大n2nCn12nC值（3）各二项式系数和： ，1(1)nrnnnxx 令 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆022rnnCC 三、讲解范例：例 1在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()nab 奎 屯王 新 敞新 疆证明：在展开式 中，令01() ()nnrnnCabCabN ，则 ，1,ab231(1)nnn即 ，0213()()nC ，n 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()ab说明：由性质（3）及例 1 知 .021312nnnCC 例 2已知 ，求：7 702()xaxax（1） ； （2） ； （3） .27a 13
5、57017|aa解：（1）当 时， ，展开式右边为1x7()()x027 ，1aa 当 时， ， ，x012712a（2）令 ， 令 ， 1x701234563a 得： ， .713572()13a1357a7132（3）由展开式知： 均为负， 均为正，1357,a0248,由（2）中+ 得： ，70246()13 ， 70246aa 017| 01234567aa奎 屯王 新 敞新 疆724635()()aa例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： )1(1)x(1100）（= ，x)(原式中 实为这分子中的 ，则所求系数为 奎 屯
6、王 新 敞新 疆34x71C例 4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： 55)2(1)x( 在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 ，x15在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 802C4展开式中含 x 的项为 ，)3()80(此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.已知 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展n2)(开式的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆解：依题意 2n4n2n4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=1
7、0 奎 屯王 新 敞新 疆设第 r+1 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 ，2r0251此所求常数项为 180 奎 屯王 新 敞新 疆.180)2(CT102例 6 设 ，231nxxx 201naxa当 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆01254naa解：令 得：，23012 nn 2(1)54 ，8,7n点评：对于 ，令 即 可得101()()nnnfxaxa 1,xa各项系数的和 的值；令 即 ，可得奇数项系数和与012n ,偶数项和的关系 奎 屯王 新 敞新 疆例 7求证： 12312nnnCC证（法一）倒序相加：设 S13nn又 S221()()n
8、n n ， ， rrnC01,nnC由+得： ，22nn ，即 11nS 312nnC（法二）：左边各组合数的通项为，rnC1!()!()1rnr 1230121n nnn nCC 12n例 8在 的展开式中,求:10)(yx二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和; 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.xx分析:因为二项式系数特指组合数 ,故在,中只需求组合数的和,而与二项式rnC中的系数无关.yx32解：设 (*),10289101)( yayxaxayx 各项系数和即为 ,奇数项系数和为 ,偶数项系数和为00 0210a, 的奇次
9、项系数和为 , 的偶次项系数和9531aa x 9531a x.10420由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为 .10102C令 ,各项系数和为 .1yx )(3(奇数项的二项式系数和为 ,9102102偶数项的二项式系数和为 .3C设 ,10289101)32( yayxaxayx令 ,得到 (1),1020令 , (或 , )得 (2)1xy1xy 10325aa(1)+(2)得 ,100205aa奇数项的系数和为 ;51(1)-(2)得 ,10931)(2aa偶数项的系数和为 .510 的奇次项系数和为 ;x 25109531aa的偶次项系数和为 .104
10、20点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例 9已知 的展开式的系数和比 的展开式的系数和大 992,求nx23)(nx)13(的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.nx2)1(解：由题意 ,解得 .922n5n 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,10()x即 .804)1(255106 xCT设第 项的系数的绝对值最大,r则 rrrrr xCx 21010101 )()( ,得 ,即1010122rrrC102rrrr)( , ,故系数的绝对值最大的是第 4 项 奎 屯王
11、 新 敞新 疆38例 10已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 23()nx 92（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，2(13)n又展开式中二项式系数和为 ，2n ， 29n5（1） ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，6 ， ，23235()0TCxx2233345()70TCxx（2）设展开式中第 项系数最大，则 ，1r 1045231 5()rrrrr Cx ， ，1557923rr即展开式中第 项系数最大， 22644335()05TCxx例 11已知 ，)(11 NnS
12、nnnn求证：当 为偶数时， 能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆n6分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项nS4n 64式 奎 屯王 新 敞新 疆 ，12122()nnnnSCC 3 ， 为偶数，设 （ ） ，14nS3nn2nk*N 281k()81k01kkkCC（ ） ，128() 当 = 时， 显然能被 整除，k140nS64当 时， （ ）式能被 整除，2所以，当 为偶数时， 能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆1n三、课堂练习：1 展开式中 的系数为 ，各项系数之和为 451x4x2多项式 （ ）的展开式23()(1)()(1)nnnnfCCxx 6中， 的
13、系数为 6x3若二项式 （ ）的展开式中含有常数项，则 的最小值为（ ）231()nxNnA.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于 5 B.在 56之间 C.在 68之间 D.在 8以上5在 的展开式中，奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 等于（ ）(1)nxpq2(1)nxA.0 B. C. D.pq2q26求和： 341012311 nnnnnaaaCCC7求证：当 且 时， N18求 的展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆102x答案：1. 45, 0 2. 0 提示： 奎 屯王 新 敞
14、新 疆16nfx3. B 4. C 5. D 6. 1na7. (略) 8. 33156Tx四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 五、课后作业：P36 习题 1.3A 组 5. 6. 7.8 B 组 1. 21已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项，而2()na 516x展开式的系数的最大的项等于 ，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆2n 54a()R答案： 3a2设
