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1、34 第二章 正弦交流电路 前面已经介绍了直流电路， 在直流电路中电流的大小和方向都不随时间变化， 但实际的 生产生活中更广泛地使用着交流电。 所谓正弦交流电路， 是指含有正弦电源而且电路各部分 所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。 2.1 正弦交流电路的基本物理量 如图 21（a）所示为直流电压或电流的波形，与直流量不同的是，正弦电压和电流是按 照正弦规律周期性变化的，它的波形如图 21（b）所示。正弦交流电压和电流常统称为正 弦电量，简称正弦量。 （a）直流量 （b）正弦量图 图 21 波形图 由于正弦电压和电流的方向是周期性变化的，在分析交流电路时，首先用箭头标出 u、 i 的参考
2、方向，当正弦量的实际方向与参考方向一致时，其值为正，相应的波形画在横轴上 方；若实际方向与参考方向相反，其值为负，相应的波形画在横轴下方。 正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，它们分别用频率（或周期） 、 幅值 （或有效值） 和初始相位来确定， 故我们把频率、 幅值和初始相位称为正弦量的三要素。 2.1.1 正弦量的周期、频率和角频率 一个正弦量变化的快慢可以用三种方法表示，它们是周期 T、频率 f 和角频率 。 周期 T 正弦量变化一次所需的时间称为周期 T，单位是秒（s） 。 频率 f 频率是周期的倒数，即 1 f T = ，单位是赫兹（Hz） 。 角频率 表示正弦量在 1
3、 秒内所变化的电角度，单位是弧度/秒（rad/s） 。 因为一周期内正弦量经过了 2 弧度，所以角频率为： 2 2f T = 【例 21】已知 f =50Hz，试求 T 和 。 解： 11 0.02s 50 T f =35 2 2 3.14 50314rad/s f = 2.1.2 正弦量的瞬时值、最大值和有效值 正弦量的大小可用瞬时值、最大值和有效值来表示。 瞬时值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如电流i 、电压u 和电 动势e。 最大值 正弦量在交变过程中的最大瞬时值称为最大值（或幅值） ，用带下标“m ”的 大写字母来表示，如电压幅值 m U 、电流幅值 m I 等。
4、有效值 有效值的确定是根据交流电流和直流电流热效应相等的原则来规定的， 假定在 同一电阻上，并且用相等的时间分别通以交流电流i 和直流电流I ，如果它们产生的总热量 相等，我们就说这两个电流量是等效的，则称该直流电流I 是该交流电流的有效值。 根据上述规定，可得： 22 0 d T RitRI T = （21） 设正弦电流 sin m iIt = ，则有效值I 为： 22 0 1 sind0.707 2 T m mm I IIt tI T = （22） 同理可得： 0.707 2 m m U UU = （23） 0.707 2 m m E EE = （24） 有效值都用大写字母表示，和表示直流
5、的字母一样。 一般所讲的正弦电压或电流的大小，如交流电压 380V，都是指它的有效值。在交流电 路中，用交流电压表、电流表测得的数据均为有效值。 【例 22】已知正弦电流 10sin(31460 ) it = ，求此电流的有效值。 解：因为电流i 的最大值为 10A m I = ，所以有效值为： 7.07A 2 m I I = 2.1.3 正弦量的相位与相位差 由如图 22 所示波形可以看出，电流波形起始于横坐标 处，则对应的波形函数为： ( ) sin m iIt =+ （25） 上式中，( ) t + 称为正弦量的相位； 称为正弦量的初相位（简称初相） 。36 t 图 22 初相不为零的正
6、弦波 相位反映了正弦量在交变过程中瞬时值的变化过程， 初相则是确定正弦量初始值的一个 特征量， 当所取计时起点不同时， 初相也会不同， 下面分三种情况加以说明，如图 23 所示。 i t 0 i i t 0 i i t i t O i 0 t O t i i 0 （a） 0 0 i （b） 0 0 i = （c） 0 0 i ，此时初相 0 ； 图 23（b）中， 0 t = 时，正弦量初始值 0 0 i = ，此时初相 0 = ； 图 23（c）中， 0 t = 时，正弦量初始值 0 0 i ， 而电容的无功功率为负，即 2 0 CC QI X = ，则 0 X ， 0 ，此时电压超前电流
7、角，电路呈感性。 当 90 =时，电路可视为纯电感负载。 （2）电容性电路 若 LC XX ，所以此电路为感性电路。 （2） 220 60 5.24 43.3 42 16.7 U IA Z = ? ? 5.2443.340209.643.3 (V) R UIR = ? jj5.2443.339204.36 133.3 (V) LL UIX = ?jj5.2443.327141.4846.7 (V) CC UIX = = = ? （3）相量图如图 218 所示。 【例 27】已知一阻抗 Z 上的电压、电流分别为 220 30 U = ? （V） ， 530 I = ? （A） （电压和电流为关联
8、参考方向） ，求 cos ZPQS 、 、 、 、 。 解： 220 30 44 60 530 U Z I = ? ? coscos600.5 = = cos22050.5550W PUI = = 3 sin2205550 3var 2 QUI = = 22 1100V A SPQ =+=50 C U ? C U ? L U ? U ? I ? R U ? R U ? U ? L U ? C U ? C U ? 43.3 I ? 图 218 例 26 的相量图 2.4.2 并联交流电路及功率因数的提高 一、并联交流电路分析 前面介绍的是阻抗串联电路， 下面主要讨论交流电路中另一种基本连接形式并
9、联电 路。 如图 219 所示为并联交流电路，电压、电流参考方向如图所示，根据 KCL，总电流i为 12 iii =+ 。 1 i u 1 i 1 R 2 R 2 i i C L u R 2 R 1 i 1 i 2 i 图 219 并联交流电路 下面用相量法来分析电路，取电压u为参考正弦量，则其有效值相量为 0 UU = ? ? ，RL 支路的复阻抗 1 Z 为： 1111 j L ZRXZ =+= 式中： 22 11 L ZRX =+ ， 11 1 arctan(0) L X R = RC 支路的复阻抗 2 Z 为： 2222 j C ZRXZ = 式中： 22 22 C ZRX =+ ，
10、22 2 arctan(0) C X R = 。 则支路电流为： 111 111 0 UU II ZZ = ? ? ?51 222 222 0 UU II ZZ = ? ? ? 总电流为： 12 1212 11 () UU IIIU ZZZZ =+=+=+ ? ? 两个并联的阻抗也可用一个等效阻抗 Z 来代替，故： U I Z = ? ? 比较上列两式，可得： 12 111 ZZZ =+ 或 12 12 Z Z Z ZZ = + （257） 二、功率因数的提高 1提高功率因数的意义 在交流电路中， 由于电压和电流之间存在相位差 ， 因此有功功率P不等于电压与电流 有效值的乘积，为 cos PU
11、I = ，式中cos是电路的功率因数。对于纯电阻负载电路，电压 与电流同相，cos1 = ；但在交流电路中，一般负载多为感性负载，功率因数介于 01 之 间，例如交流感应电动机在额定负载时，功率因数约为 0.80.85，轻负载时只有 0.40.5， 空负载时更低，仅为 0.20.3。 2提高功率因数的方法 功率因数不高的根本原因是由于感性负载的存在，为了提高cos，通常在感性负载两 端并联电容器，利用电容的无功功率来补偿电感的无功功率。如图 220 所示为感性负载并 联电容时的电路图和相量图。 C 1 R L U ? I ? 1 I ? C I ? C I ? 1 I ? I ? U ? （a
12、）电路图 （b）相量图 图 220 功率因数的提高 由图 220 可见， 未并联电容之前， 总电流I ? 就是 RL 支路的电流 1 I ? ， 功率因数为 1 cos 。 并联电容后，由于端电压U ? 不变，则负载电流 1 I ? 也没有变化，但电容支路的电流 C I ? 相位超 前电压 90，使电路的总电流I ? 发生了变化，此时 1 C III =+ ? ，且 1 II ，即总电流在数值上 减小了，同时总电流I ? 与电压 U ? 的相位角也从 1 减小到 ，从而使总电路的功率因数得到 了提高。应注意的是：感性负载在并联电容前后，端电压不变，其工作状态不受影响，负载 本身的电流、有功功率
13、均无变化。 并联电容前： 11 cos PUI = ， 1 1 cos P I U =52 并联电容后： cos PUI = ， cos P I U = 由如图 220（b）所示相量图可得： 1 111 1 sin sin sinsin(tantan ) coscos C P PP III UUU = 又因为： C C U ICU X = 所以： 1 (tantan) P CU U = 1 2 (tantan) P C U = （258） 通过式（258）可以求出把功率因数从 1 cos 提高到cos所需的电容值。 习题二 2.1 一工频正弦电压的最大值为 310V，初始值为155V，试求它的
14、解析式。 2.2 三个正弦电流 1 i 、 2 i 和 3 i 的最大值分别为 1A、2A、3A，已知 2 i 的初相为 30， 1 i 较 2 i 超前 60，较 3 i 滞后 150，试分别写出三个电流的解析式。 2.3 已知 1 220 2sin(60 ) ut =+ ? V， 2 220 2cos(30 ) ut =+ ? V， 试作 1 u 和 2 u 的相量图， 并求： 2 1 u u + 、 2 1 u u 。 2.4 （1）若已知电压的瞬时值为 10sin(31430 )V ut =+ ，则该电压有效值 U 是多少？ 频率 f 是多少？初相位 又是多少？ （2）已知 2 电阻的
15、电压 10 60 V R U = ? ，在关联参考方向下，电阻上电流 R I ? 是多少？ 若 = 20 L X 的电感元件的电流为 ( 1j)A L I = + ? ，关联参考方向下，则电感元件两端电压 L U ? 为多少？ 2.5 把某线圈接到电压为 10V 的直流电源上，测得流过线圈的电流为 0.25A，现把它 接到 220 2sin314 V ut = 的电源上，测得流过线圈的电流为 4.4A，试求线圈的电阻及电感。 2.6 如图 221 所示电路中，已知 10cos(2 90 )V ut = ， 2cos(2 )A it = ，则图中所示 元件是什么元件（电阻、电感或电容）？元件参数值是多少？一周期内元件的平均功率是多 少？ i u + 图 221 题 2.6 图53 2.7 如图 222 所示电路，
