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1、第 2 章 微分和微分法导数的简单应用1221222-92-9 高阶导数和高阶微分高阶导数和高阶微分泰勒公式泰勒公式1.1.高阶导数和高阶微分高阶导数和高阶微分 在2-3 中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数的阶导数阶导数就是)(xyy nhxyhxyxyxynnhnn)()(lim )()()1()1(0)1()(0)( )( )yxy x而阶微分就是nnnnnnnnnxxyxxxyxxyyyd)(d d)(d)(dddd)(1)(1) 1(1 -(是自变量；被看成与无关的有限量)xxdx因此，按照莱布尼茨的记法，函数的阶导数也可记成)(xyy n)()(xyn或简记成 (注意
2、的位置)nnxxy d)(d nnxy ddn这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到阶导数与阶微分的关系中.nn例例 3333 因为指数函数的导数，所以. 依次类推，则有ex(e )exx (e )(e )exxx( )( )(e )e ,d (e )(e )de d(1,2,)xnxnxxnnxnxxnL例例 3434 对于函数，则xysincossin,sinsin 2,222yxxyxxL L一般地，； .( )sin2nnyx( )ddsind2nnnnnyyxxx), 2 , 1(Ln同理，对于函数，有cosyx； .( )cos2nnyx( )ddcosd2nnnn
3、nyyxxx), 2 , 1(Ln例例 3535 对于函数，则ln(1)yx2 23112,( 1),1(1)(1)yyyxxx L一般地，（阶导数）n( )1(1)!( 1)(1,2,)(1)nn nnynx L（阶微分）n( )1(1)!dd( 1)d(1,2,)(1)nnnnn nnyyxxnx L例例 3636 设函数. .证明：.21 ( )e(0),(0)0xf xxf ), 2 , 1(0)0()(Lnfn证证 一方面，函数在点 0 是连续的，因为)(xf2-9 高阶导数和高阶微分泰勒公式1231232 21 1001lim( )limelim0(0) eux x uxxuf x
4、f另一方面，2 2221 132300226lim( )lim elimlim3 lim e2 eeux x uuuxxuuuuuufxxu点点 0 0 的导数等于点的导数等于点 0 0 近旁导数的极限近旁导数的极限213 lim0 2 euuu)0(f 因此，一阶导数在点 0 是连续的.)(xf 一般地，当时，0x2211364246( )e,( )e,xxfxfxxxxL L容易看出，对于任何正整数，n其中为关于的多项式21 ( )1( )enxfxPx)(uPu且根据洛必达法则，() 2221( )0( )( )lim( )lim( )elimlim0e(e )ux nu uuxuuuP
5、 uP ufxP uL L于是，因为一阶导数在点 0 是连续的，根据式()，所以且)(xf 0)(lim)0( 0 xff x 在点也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得)(xf 0( )( )0(0)lim( )0nnxffx 2.2.泰勒公式泰勒公式 一个次多项式n23 0123( )()()()()nnP xbb xab xab xab xaL中，它的系数与有什么关系呢？显然，；又因为(0,1,2, )kb knL( )P x0( )bP a21 123( )2()3 ()()nnP xbb xab xanb xaL2 23( )23 2 ()(1)()nnP xbb xan nb
6、 xa L3 3( )3 2(1)(2)()nnPxbn nnb xa LM( )( )(1)(2)3 2 1n nPxn nnb L所以， ， ， 1( )bP a2( ) 2!P ab3( ) 3!PabL( )( )!nnPabn因此， ( ) 23( )( )( )( )( )( )()()()()1!2!3!n nP aP aPaPaP xP axaxaxaxanL第 2 章 微分和微分法导数的简单应用124124带皮亚诺余项的泰勒公式带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数，若它在某点有一阶导数(即可( )f xa( )fa微分)，根据定义，则有()( )( )()f axf afa
7、xox 即()xxa ( )( )( )()()f xf afa xao xa若函数在点有二阶导数，令( )f xa( )fa2( )( )( , )( )( )()()1!2!fafaR a xf xf axaxa 则有222( )( )( )( )()()( , )01!2!limlim()()0xaxafafaf xf axaxaR a x xaxa ( )( )( )() 01( )( )limlim( )02()02xaxafxfafa xafxfafaxaxa即. 因此，2( , )() R a xo xa22( )( )( )( )()()() 1!2!fafaf xf axax
8、ao xa一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理泰勒定理 1 1 若函数在点有阶导数，则函数在点有展开式)(xfan( )( )nfa)(xfa( ) 2( )( )( )( )( )()()()() 1!2!n nnfafafaf xf axaxaxao xanL与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”，称它为皮亚诺皮亚诺(G.Peano)(G.Peano)() no xa余项余项.上面的展开式就称为函数在点带皮亚诺余项的带皮亚诺余项的阶泰勒公式阶泰勒公式.( )f xan需要指出，习惯上把函数在点的泰勒公式( )f x0( )(0)(0)( )(0)()
9、1!n nnfff xfxxo xnL称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式（*）（*）.特别，根据例 33、例 34 和例 35 中的高阶导数公式，则有，23 e1()2!3!n xnxxxxo xn L，3521 121sin( 1)()3!5!(21)!n nnxxxxxo xn L，242 2cos1( 1)()2!4!(2 )!n nnxxxxo xn L.23 1ln(1)( 1)()23n nnxxxxxo xn L带拉格朗日余项的泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数在含点的某区间内有一阶导数，根)(xfa( )fx（* *）微积分学教程(
10、俄菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。2-9 高阶导数和高阶微分泰勒公式125125据微分中值定理，当足够小时，则有x（拉格朗日公式拉格朗日公式）()( )()(01)f axf afaxx 或()xxa ( )( )()() (01)f xf af axaxa一般情形下，有下面的结论.泰勒定理泰勒定理 2 2 若函数在点及其近旁有阶导数，则在点及其近旁)(xfa) 1( n)()1(xfna有( ) 2( )( )( )( )( )()()()( , )1!2!n n nfafafaf xf axaxaxaR a xnL其中余项(1) 1()( , )()(01)(1)!n n nfax
11、aR a xxan 称为拉格朗日余项拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的带拉格朗日余项的阶泰勒公式阶泰勒公式.n特别，当时，泰勒公式0n( )( )()() (01)f xf af axaxa就是拉格朗日公式.证证 为书写简单起见，以下记，并考虑等式hxa（）( ) 21( )( )( )( )( )1!2!n nnfafafaf xf ahhhChnL其中为待定数(当确定后，它是常数).作辅助函数C, ,a h n( ) 21( )( )( )( )()( )( )( )( )( )1!2!n nnfafafag tf athf athththC thnL) 10(t它在区间上满
12、足罗尔定理的条件，所以有使；而 1, 01t) 10(1t0)(1 tg( ) 211( )( )( )()( )(1)1!(1)!n nnnnfafag tfath hfa hththC nt hnL所以. .因此，在区间上满足罗尔定理的条件，所以又有使0)0(g)(tg, 01t2t)0(12tt . .依次类推，就会有使，而0)(2 tgnt) 10(11tttnnL0)()(nntg( )( )( )1( )()( )(1)!nnnnnngtfath hfa hC nth且. .最后，函数在区间上满足罗尔定理的条件，所以有使0)0()(ng)()(tgn, 0nt), 0(1nntt，
13、即. .因此，0)(1)1( nntg0! ) 1()()(11 1)1( 1)1( nn nn nnhnChhtaftg) 10(! ) 1( )( ! ) 1( )()1( 1)1( nhaf nhtafCn nn把它代入式()，则得第 2 章 微分和微分法导数的简单应用126126( )(1) 21( )( )( )()( )( )1!2!(1)!nn nnfafafafahf xf ahhhhnn L因为其中，所以它就是泰勒公式hxa( ) 2( )( )( )( )( )()()()( , )1!2!n n nfafafaf xf axaxaxaR a xnL其中余项(1) 1()( , )()(01)(1)!n n nfaxaR a xxan 需要指出，习惯上也把函数在点的泰勒公式0nn xnfxffxf!)0( ! 1)0()0()()( L)(xRn称为麦克劳林公式麦克劳林公式.其中余项(拉格朗日余项拉格朗日余项)(xRn(1) 1()(01)(1)!n nfxxn 总结总结：令，则hxa( ) 2( )( )( )()( )()1!2!n nnfafafaf ahf ah
