高中物理光学讲座 (2)

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1、1.31.3 光的折射光的折射1.3.11.3.1、多层介质折射、多层介质折射如图：多层介质折射率分别为则由折射L321,nnn定律得：kkinininsinsinsin2211L1.3.21.3.2、平面折射的视深、平面折射的视深在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。 Qh设水相对于空气的折射率为，由折射定律得 34niin sinsin令OM=x，则itgdtgidx 于是 inind itgtgiddcos)sin(12上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，则，于是0i

2、0sin2i1cos indd 这时与入射角i无关，即折射线的延长线近d似地交于同一点，其深度是原光点深度的。Q431n如图 1-3-3 所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一1i2i3i1n2n3nRn图 1-3-1ddQQOxM i图 1-3-2S2 S3 S1 O2 O1 S S1 Q NP M图 1-3-3定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离 ，玻璃折射l率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQS321,SSS面反射和MN面再折射成像，由视深公式得

3、，SnOSO111dSOSOSO1112223121SOnSOnd ndnld nSOOOSO212221 31故两像间距离为。ndSOSO21311.3.31.3.3、棱镜的折射与色散、棱镜的折射与色散入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图 1-3-4 的几何关系知)()(2121iiii11ii其中 21sinsinini 12sinsinini当 ， 很小时，即 1i1221,ii nnii=（n-1）厚度不计顶角 很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言， 与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度 ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光

4、线产生偏折角的薄平板，图 1-3-5。设物点S离光楔 L 则像点在S的正上方。SABCEFi1i2i2i1DG折射率图 1-3-4hLSS图 1-3-5h=l=（n-1）l。 ll 1)-(nh当棱镜中折射光线相对于顶角 对称成等腰三角形时，。ii122ii2sinsinsin11nii)2sinarcsin(2n或者 2sin2sinn这为棱镜的最小偏向角，此式可用来测棱镜的折射率。由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图 1-3-6。形成内紫外

5、红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图 1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。1.3.41.3.4、费马原理、费马原理费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的阳光红紫图 1-3-6图 1-3-7紫 红阳光乘积。费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一

6、个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，（图 1-3-8） 。当平行光沿主光轴入射时，为使所FfFO有光线均会聚于点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点AF与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？解解: : 根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线F与任一条光线的光程应相等。由此可以确FB FNM 定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。（1）取坐标系如图，由光线和xyo FB 的等光程性，得FNM 2222)(Rfyxfnx整理

7、后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为xyBAM（x，y ） nRfF图 1-3-81)(1) 1(2222 22222 2 nRff nynfRfnxn令，则上式成为12220nfRfnx1222nRff na222 02)(1(ayxxn这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。（2）透镜顶点A的位置 应满足22 02)(1(axxnA或者 11222 nfRfnaxxOA可见，对于一定的n和，由R决定。f Ax（3）因点在透镜外，即，这是对 R 的限制条件，有FfxAfnfRf122即要求 fnR12讨论讨论 在极限情形，即 时，有如下结果：fnR12fnf

8、fnfxA1) 1(222即点 A 与点重合。又因FfnffnxO122a=0故透镜凸面的双曲线方程变为0)(1(222yfxn即 )(12fxny双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，F F如图 1-3-9 所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由tnsinsin几何关系221cossin Rf故 ， 1sin 22 Rff nt 2t即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角就是全反射的F临界角。例例 1 1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图 1-3-10 所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光2由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为 4

9、5，一束与MN平面成 450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？xyRfAM N ntF图 1-3-9MONR 45图1-3-10分析分析: 如图 1-3-11 所示。进入玻璃中的光线垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线右侧一直到与球面正好相切的光线范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。解解: : 图 1

10、-3-11 中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有o90irnisinsin 22sinsinnir即 o45r这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。RrROE22sin讨论讨论 如果平行光束是以 45角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图 1-3-12 所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？参见图 1-3-13 所示，由折身定律，得，即所rsin245sino21sinro30r有折射光线与垂直线的夹角均为 30。考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生

11、全反射，则有，而，即有，因o90sinsinEAOn2no45EAOMONR 45ABCEir13 2图1-3-1145MNO图1-3-12MNOABCEFirri图1-3-13EA与OB平行，所以，所以，即射o45AOBEAOoooo756045180向 A 点左边 MA 区域的折射光（）因在半圆柱面上的入射角均大于 45o45的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（）o45则由小于临界角而能射出，随着 角的增大，当时，将在C点再o45FCO一次达到临界角而发生全反射，此时 故知能够从半圆柱球面上出o15FOC射的光束范围限制在 AC 区域上，对应的角度为。oo16575

12、点评点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。例例 2 2、给定一厚度为 d 的平行平板，其折射率按下式变化rxnxn 1)(0一束光在 O 点由空气垂直入射平板，并在 A 点以角 出射（图 1-3-14） 。求 A 点的折射率 nA，并确定 A 点的位置及平板厚度。 （设） 。o30,13, 2 . 10cmrn解解: : 首先考虑光的路线（图 1-3-15） 。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律， 1221 sinsin nnL2332 sinsin nn更简单的形式是L332211sinsinsinnnn这个公式对任意

13、薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即常数xxnsinAOKrd图1-3-141n2n3n4n123图1-3-15COxx2图1-3-16在本题中，垂直光束从折射率为 n0的点入射，即为常数，于是o90,0xxnn在平板内任一点有0sinnnxx与x的关系已知，因此沿平板中的光束为xnrxr rx nnxx1sin0图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有xXCxOCsin现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有AAAn cossin )90sin(sino因为 ，故有0sinnnBAAAnn0sin201cos

14、AAnn于是20)1 (sinAAnnn因此 22 0sinnnA在本题情形 3 . 1An根据 1312 . 13 . 1xnA 得出A点的x坐标为x=1cm。光线的轨迹方程为222)1 (rxy代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm例例 3 3、图 1-3-17 表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为 2，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。解解: : 本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图 1-3-18 所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有（1）sinsinn（2）sin1sinn其中2/（3）)(2/如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角 。应满足条件nc/1sin可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为（4）1 nABD1 nn图1-3-17ABCDNP图1-3-18或 （5）n/1sin现在计算，利用（3）式可得sinsins