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1、- 1 - 江苏省扬州中学 20142015 学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷2014.4注：本试卷考试时间120 分钟，总分值160 分一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1. 已知全集0,1,2,3,4U，集合1,2,3 ,2,4AB，则UC AB为2命题“1x，都有21x”的否定 是3. 若函数 1,lg1, 1)(2xxxxxf，则 f(f(10)= 4 已知 复数 z1 2i， z2a2i(i 为虚数单 位，aR) 若 z1z2为实数 ， 则 a 的值为 5. 曲线xey2在0x处的切线方程是6. 已知2)(xxfy是奇函数，且1)1 (f，若2)()(
2、xfxg，则) 1(g7. 满足,1,0,1,2a b, 且关于 x 的方程220axxb有实数解的有序数对( , )a b的个数为8. 3 22xx的展开式中的常数项为9. 设61014 357log ,log ,logabc，则, ,a b c的大小关系是10. 利用数学归纳法证明“)( 2131211npn” ，从kn推导1kn时原等式的左边应增加的项数是项11. 定义域为R 的函数( )f x 满足(1)2( )fxfx ，且当(0,1x时，2( )f xxx ，则当 2,1x时，( )f x 的最小值为12. 对大于或等于2 的自然数m的n次方幂有如下分解方式：31225313275
3、314253231197331917151343根据上述分解规律，则9753152，若)(*3Nnm的分解中最小的数是91，则m的值为。13. 已知函数1( )3xfxx,(0)x， 对于*nN，定义11( )( )nnfxffx，则函数( )nfx 的值域为- 2 - 14. 设函数( )lnf xxxa（aR） 若存在(0,1b使得( )ff bb，则a的取值范围是 . 二、解答题 : 本大题共6 小题，共90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知集合A=2|230x xx，B=|(1)(1)0xxmxm，（1）当0m时，求AB（2）若p：2230xx，q：(1)(1)0x
4、mxm，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围 . 16已知n nxxf)1()(，（1）若2015 2015012015( )fxaa xax，求1320132015aaaa的值；（2）若)(3)(2)()(876xfxfxfxg，求)(xg中含6x项的系数 . 17. 某村庄拟修建一个屋盖的圆柱形蓄水池（不计厚度） . 设该蓄水池的底面半径为r米，高为 h米，体积为V立方米 . 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元 / 平方米， 底面的建造成本为160元/ 平方米，该蓄水池的总建造成本为12000（为圆周率） . (1)将V表示成r的函数)(rV，并求该函数的定义域；
5、(2)讨论函数)(rV的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 18. 已知n（2,nnN）个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，设这n个半圆被所有的交点最多分成( )f n段圆弧 . （1）求(2),(3),(4)fff；（2）由（ 1）猜想( )f n的表达式并用数学归纳法证明. - 3 - 19. 设集合,10|ZxxxA，AB，且B中的元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9（1）集合B中的两位数有多少？集合B中的元素最大的是多少？（2）将B中的元素从小到大排列，求2015 是第几个元素20. 已知
6、0t，函数( ) 3xtf xxt. (1)1t时，写出( )f x的增区间；(2) 记( )f x在区间 0,6上的最大值为( )g t，求( )g t的表达式；(3) 是否存在t，使函数( )yf x在区间 (0,6) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由- 4 - 江苏省扬州中学20142015 学年第二学期期中考试高二数学试卷答题纸成绩一、填空题（每小题5 分，计 70 分）1234567891011121314二、解答题（本大题共6 小题，计 90 分）15 （ 14 分）16 （ 14 分）17 （ 14 分）考试号_学号_班级
7、_座位号_姓名_,密,封,线,内,不,要,答,题,- 5 - 18 （ 16 分）19 （ 16 分）（请将 20 题解答写在答题纸反面）- 6 - 高二数学（理）1.0,2,4 2. 21,1xx 3.2 44 5.22yx 6.-1 7.11 8.12 9. abc 10. 2n 11. 11612.10 13.2(0,)31n14.(,015已知集合A=2|230x xx，B=|(1)(1)0xxmxm，（1）当0m时，求AB（2）若p：2230xx，q：(1)(1)0xmxm，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。15、解析（ 1） ：2|23 0| 13Ax xxxx，|(1
8、)(1)0|11Bxxxx xx或|13ABxx（2）p为：( 1,3)而q为：(,11,)mm，又q是p的必要不充分条件，即pq所以11m或13m4m或2m即实数m的取值范围为(, 24,)。（2）二项式定理，16已知n nxxf)1()(，（1）若2015 2015012015( )fxaa xax，求1320132015aaaa的值；（2）若)(3)(2)()(876xfxfxfxg，求)(xg中含6x项的系数；16、解： （1）因为n nxxf)1()(, 所以2015 2015( )(1)fxx, 又2015 2015012015( )fxaa xax, 所以2015 2015012
9、015(1)2faaa（1）20150120102015( 1)0faaaa（2）（1） - （2）得：2015 13201320152()2aaaa所以：2014 13201320152aaaa- 7 - （ 2）因为)(3)(2)()(876xfxfxfxg，所以678( )(1)2(1)3(1)g xxxx)(xg中含6x项的系数为66 7812399CC17. 某村庄拟修建一个屋盖的圆柱形蓄水池（不计厚度） . 设该蓄水池的底面半径为r米，高为 h米，体积为V立方米 . 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元 / 平方米， 底面的建造成本为160元/ 平方米，该蓄水池的总
10、建造成本为12000（为圆周率） . (1)将V表示成r的函数)(rV，并求该函数的定义域；(2)讨论函数)(rV的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解： (1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200 rh 元，底面的总成本为160 r2元，所以蓄 水池的总成本为(200 rh 160 r2)元又据题意200 rh160 r212 000 ，所以 h15r(3004r2)，从而 V(r) r2h5(300r 4r3)因 r0，又由 h0 可得5 3r，故函数 V(r)的定义域为 (0,5 3)(2)因 V(r)5(300r 4r3)，故 V(r)5(30012r2)令 V(
11、r)0，解得 r15，r2 5(因 r2 5 不在定义域内，舍去) 当 r(0,5)时， V(r) 0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时， V(r) 0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知， V(r)在 r5 处取得最大值，此时h 8. 即当 r5， h8 时，该蓄水池的体积最大18. 设集合,10|ZxxxA，AB，且B中的元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9（1）集合B中的两位数有多少？集合B中的元素最大的是多少？（2）将B中的元素从小到大排列，求2015 是第几个元素解析 （1）所有的两位数共90 个，其
12、中数字相同的有9 个，两数字之和为9 的有 9 个，所以B中的两位数有909972 个；B中的元素最大的是98765；（2）所有的各数位的数字互不相同三位数共998648 个，其中含有数字0 和 9 的有 4832 个，另解（ 1）将 10 个数字分为5 组： （0，9） ， （1，8） ， （ 2，7） ， （3，6） ， （4，5） ，每组中- 8 - 的两数不能同时出现在一个元素中对于两位数，若最高位为9，则共有 248 个，若最高位不为9，则共有244264 个，所以B中的两位数有72 个；对于三位数，若最高位为9，则共有2 4A22 48 个，若最高位不为9，则共有1 4A22 4A
13、22384 个，所以B中的三位数有48384432 个；B中的两位数和三位数共有72432504 个，在B中的四位数中，千位上为1 的有 192 个，而 504192696 个，所以 2015 是第 699 个元素19. n（2,nnN）个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，设这n个半圆被所有的交点最多分成( )f n段圆弧。（1）求(2),(3),(4)fff；（2）由（ 1）猜想( )f n的解析式并用数学归纳法证明. 19.分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证当 n=2 时，由图 (1)两个半圆交于一点，
14、则分成4 段圆弧，故f (2)=4=22当 n=3 时，由图 (2)三个半径交于三点，则分成9 段圆弧，故f (3)=9=32由 n=4 时，由图 (3)三个半圆交于6 点，则分成16 段圆弧，故f (4)=16=42由此猜想满足条件的n 个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2用数学归纳法证明如下：当 n=2 时，上面已证设 n=k 时， f (k)=k2，那么当n=k+1 时，第 k+1 个半圆与原k 个半圆均相交，为获得最多圆弧， 任意三个半圆不能交于一点，所以第 k+1 个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k 条圆弧； 另外原 k 个半圆把第k+1 个半圆分成
15、k+1 段，这样又多出了 k+1 段圆弧- 9 - f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 满足条件的k+1 个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧由、可知，满足条件的n 个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧说明： 这里要注意； 增加一个半圆时， 圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4， f (3)=f (2)+2+3 ，f (4)=f (3)+3+4 中发现规律： f (k+1)= f (k)+k+(k+1)20. 已知0t，函数( ) 3xtf xxt. (1)1t时，写出( )f x的增区间；(2)记( )f x在区间 0,6上的最大值为( )g t，求( )g t的表达式；(3)是否存在t，使函数( )yfx在区间 (0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由 解： (1)(, 3),(1,)；(2)当 0 x t 时， f(x)3txxt；当 xt 时， f(x) 3xtxt. 因此，当x(0，t)时， f(x)243txt0，f(x)在(0，t)上单调递减；
