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1、长方体模型在立体几何教学中的应用长方体是特殊的六面体，是立体几何中的基本几何体,其结构对称,各元素 之间具有相等、平行、垂直等关系,内涵丰富,是研究线面关系、线线关系、特 殊几何体的一个重要载体,在处理某些立体几何问题时,若能根据题意,合理恰当 地构造出长方体模型,则可化繁为简、化难为易,巧妙地将题目解出, 常能收到 事半功倍的效果，下面举例说明。一、构筑模型求有关体积表面积问题例 1、若三棱锥 ABCD 的三条侧棱两两垂直， AC=AD=1，AB=2，则三棱 锥 ABCD 的外接球体积为_解析 如图，以 AB，AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱
2、锥的外接球的直径是长方体的对角线长长方体的对角线长为AB2AC2AD26外接球半径，三棱锥 ABCD 的外接球体积。6 2r 3463Vr例 2 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD 的面积分别为， ， ，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为_223262答案 6解析 如图，以 AB，AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意Error!解得Error!长方体的对角线长为AB2AC2AD26二、利用模型判断证明位置关系例 3.（2013 广东文）设 为直线,是两个不同的平面
3、,下列命题中正确的是l, 1若,则2若,则/l/l/ll/3若,则4若,则l/l/ll【点拨】构造长方体模型，选择其中恰当的线与面，可得答案是 2例 4(2012无锡高三质检)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，G 分别 是 AA1，D1C，AD 的中点(1)求证：MN平面 ABCD； (2)设 是过 MN 的任一平面，求证：平面 B1BG. 证明 (1)取 CD 的中点 E，连接 NE，AE， Error!NEMA 且 NEMA， 所以 MAEN 为平行四边形 所以 MNAE. Error!MN平面 ABCD. (2)在正方形 ABCD 中，易证BAGADE， 所以DAEAG
4、BABGAGB90. 所以 AEBG. Error!B1BAE. Error!AE平面 B1BG. 又 MNAE，所以 MN平面 B1BG. Error!平面 B1BG.三、构造长方体模型解“有关线面、面面平行与垂直问题” 例 5、三个两两互相垂直的平面，它们的交点为，A 点到这三个平面的距离之比为点为，且，3:4:510PA 求点到这三个平面的距离。解析：由三个两两互相垂直的平面容易联想到长方体模型，如图所示，构造长方体,使111-ABCD AB PD。则，即113 ,4 ,5PCx PDx PBx2222 11PAPCPDPB，解得故点到这三个平面的距离分22210091625xxx2x
5、别为。3 2,4 2,5 2例 6、 （2014 年福建卷）如图所示，三棱锥中，平面，ABCDAB BCD CDBD（1）求证：平面；CDABDB1D1PA1ADCB（2）若，为中点，求三棱锥的体积1ABBDCDMADAMBC 解析：（1）平面，平面，又AB BCDCD BCDABCD ，平面，平面，平面CDBDABBDBIAB ABDBD ABDCD ABD （2）由平面，得，.，AB BCDABBD1ABBD，是的中点，由(1)知，1 2ABDSMAD1 4ABMS平面，三棱锥的高，CDABDCABM1hCD因此三棱锥的体积为AMBC1 12 说明：上面的解法是高考命题组给出的标准答案，但我们仔细观 察所给立体图形的特征，我们会发现它是长方体的一个部分（如图） 所求证的结论（1）就是证明长方体的一条棱和不经过该棱一个面垂直。这是 显而易见的。而（2）的立体图形更特殊，就是一个正方体的“角” ，其面积为正方体的，由此快速得到所求体积为1 61 12通过上述几个例题可见，构造长方体这模型解题，是一种转化途径，也是 一种整体思维策略。这对于培养学生的空间想象能力，提高学生思维的灵活性， 优化学生的思维品质，都是大有裨益的。MDCBA
