《艾滋病疗法的评价及疗效的预测(潘晓青 呙永熠 翟朋)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《艾滋病疗法的评价及疗效的预测(潘晓青 呙永熠 翟朋)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1此文荣获 2006 年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛重庆市一等奖艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测潘晓青潘晓青 呙永熠呙永熠 翟朋翟朋摘要：摘要： 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体 内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高 人体免疫能力。 从数据附件 1 中约 40 多期测试中抽出样本数大于 30 的样本，对其共 13 期的平均 测试值数据进行最小二乘法拟合，拟合曲线采用 3 次多项式，探求了全体病人的 CD4、HIV 和 CD4/HIV 的变化规律。其全体病人平均 CD4 值随时
2、间变化的方程为： 0.0047t3-0.389t2+10.4594t+93.6575. 由于个体治疗差异的客观存在，我们认为评价继续治疗效果应该是单独预测每个病 人的继续治疗效果，然后顺便评估该治疗方案对全体病人的继续治疗效果。 对每个病人而言，对附件一中提供的多期 CD4 和 HIV 测试值进行最小二乘法拟合， 拟合曲线采用 3 次多项式，利用拟合后的 3 次多项式预测继续治疗后下一期（8 周后） 的 CD4 和 HIV，再求出继续治疗期（八周）CD4 和 HIV 的平均变化速度。根据 CDC 于 2002 年制定的艾滋病诊断与治疗指导方案试行版，制定继续治疗效果的评价准则。 以病人 HIV
3、 值、CD4 的浓度值和 CD4 浓度变化的平均速度，对于第一问中的疗法，将病 人的继续治疗效果分为优秀、差和继续治疗观察三个等级，其中优秀的占 20.1%，差的 占 36.7%，继续治疗观察的占 43.2%。总的来说，此种疗法继续治疗效果不佳。 人体免疫力随着年龄呈马鞍型变化且是不稳定的。用正态分布（=28.5，=30） 模拟人体免疫力随着年龄变化的概率，计算病人的免疫力因子。利用免疫力因子修改 继续治疗效果的评价准则。用新的继续治疗效果评价准则，求出四种疗法的疗法继续 治疗效果：疗效优秀（人）百分比继续治疗观察（人）百分比差（人） 百分比 120263.125%6520.3125%5316
4、.5625%220561.9335%6920.8459%5717.2205%321061.5836%8324.3402%4814.0762%421365.9443%5918.2663%5115.7895%采用层次分析法求四种疗法的优劣：对冒险型者，四种疗法从优到劣的顺序为： 3，4，2，1；对保守型者，四种疗法最后的从优到劣的顺序为 3，4，1，2。 疗效和费用一般是互相矛盾，将疗效和费用作为两个因素，采用多因素，层次分析 法，针对更看中疗效，不重视费用的患者，四种疗法从优到劣的顺序为： 3，2，4，1；针对更看中花费的患者，四种疗法最后的从优到劣的顺序为： 1，3，2，4。关键词：关键词：艾
5、滋病治疗，个体差异，最小二乘法，曲线拟合，3 次多项式，正态分布，2层次分析法3一、一、 问问 题题 的的 重重 述述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体 内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高 人体免疫能力。 根据美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据，要求解： 问题一：根据附件一中 3 百多位病人约 5 期的 CD4 和 HIV 数据预测继续治疗的效 果，或者确定最佳治疗终止时间。 问题二：根据附件二中 4 种治疗方案的病人约 5 期的 CD4 和年龄等数据对四种疗法 的疗效进行优劣评价，并对较优
6、的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时 间。 问题三：在考虑疗效的同时，考虑 4 种疗法的费用，对问题二中的评价和预测（或 者提前终止）有什么改变。二、模二、模 型型 的的 假假 设设 基本假设基本假设 （1）进行艾滋病疗法继续治疗的效果评价时，评价所用原始数据真实。 （2）继续治疗的下一个观察周期定为 8 周。 （3）一个医疗月为四周。 （4）人体免疫力与年龄呈正态分布。 符号说明符号说明符号表示的意义单 位备注L病人继续治疗效果为优秀的人数人 M病人继续治疗效果一般并继续治疗观察的人 数人N病人继续治疗效果为差的人数人iN第 i 个病人接受检查的总次数nfc第 n 次测得 CD4
7、 的含量lif第 i 位病人最后一次测得 CD4 的含量nfh第 n 次测得 HIV 的含量lnt每个病人在第 n 次接受检查的时间周_iVcV第 i 个人 CD4 的平均变化速度l/l_iVhV第 i 个人 HIV 的平均变化速度l/lCCD4 下降速度的快慢4三、模型的分析、建立与求解三、模型的分析、建立与求解 问题一的模型问题一的模型 问题一：根据附件一中 3 百多位病人约 5 期的 CD4 和 HIV 数据预测继续治疗的效 果，或者确定最佳治疗终止时间。 1.问题的分析与模型的建立问题的分析与模型的建立 1）探求全体病人治疗后的）探求全体病人治疗后的 CD4、HIV 和和 CD4/HI
8、V 的变化规律的变化规律 对病人的继续治疗效果或者确定最佳治疗终止时间进行预测，我们首先对附件 1 中 的数据进行分析，观察出对不同病人的 CD4 与 HIV 的测试时间和频率并不完全一致。 但几乎在治疗后的每周都有病人的 CD4 与 HIV 测试值，如果在治疗后的某期有足够多 的测试值，可以将其视为艾滋病人在治疗后某期的样本。计算出该期的样本平均值 （考虑到样本应该达到一定的数量才具有代表性，我们忽略在该期样本数少于 30 样本） ，这样得到在治疗后共 13 期的平均测试值。然后对其共 13 期平均测试值数据进行最 小二乘法拟合，拟合曲线采用 3 次多项式，探求全体病人的 CD4、HIV 和
9、 CD4/HIV 的变 化规律，运用数学工具 MATLAB 进行编程求解，程序见附件一，得出其全体病人平均 CD4 值随时间变化的方程为：0.0047t3-0.389t2+10.4594t+93.6575.变化图像见图 1.1：010203040506050100150200250300350图 1.1：全体病人 CD4 平均拟和曲线 2）单独预测每个病人的继续治疗效果）单独预测每个病人的继续治疗效果 由于个体治疗差异的客观存在（见图 1.2） ，不能将全体病人（300 多人）视作一个 整体对治疗效果进行评价，我们认为评价继续治疗效果应该是单独预测每个病人的继 续治疗效果，然后顺便评估该治疗方
10、案对全体病人的继续治疗效果。下面我们单独预 测每个病人的继续治疗效果。5图 1.2：ID 号为 23425 和 23765 的病人其 CD4 浓度随治疗时间变化趋势 （1）预测继续治疗后的）预测继续治疗后的 CD4 和和 HIV 测试值测试值 为了预测继续治疗的效果，我们首先要预测继续治疗后的 CD4 和 HIV 测试值。继 续治疗后（即指下一期）的时间如何确定，在 CDC 于 2002 年制定的艾滋病诊断与 治疗指导方案(以下简称方案)试行版中经常在用药后 4-8 周进行测试和评判，所 以我们把下一期定为 8 周，如果最后一次测试时间为 t，那么下一期的测试时间就是 t+8. 对每个病人而言
11、，附件一中有他的多期 CD4 和 HIV 测试值，对多期 CD4 和 HIV 测试 值进行最小二乘法拟合，拟合曲线采用 3 次多项式，探求该病人的 CD4 和 HIV 的变化 规律。针对未来八周 CD4 和 HIV 速度变化快慢，采用最小二乘法进行预测，假设三次曲线样本点(xi, yi),i=1, 2, , n,令： 32yaxbxcxd，223211, , ,nniiiii iiQ a b c dyaxbxcxdQ(a, b，c,d)表示点(xi, yi), i=1, 2, , n 与曲线 L 的偏离程度。满足：, , ,min, , ,Q a b c dQ a b c d的方程即为 a,
12、b,c,d 的最小二乘法估计。 运用数学工具 MATLAB 进行编程求解，程序见附录二。附录二。对所有病人进行求解后，得 到所有病人的 CD4、HIV（包含预测值）和 CD4/HIV 见附件四，其中 ID 号为 2342523425 的病 人的 2376523765 期 CD4 和 HIV 测试值（包含预测值）见图 1.3： （2）求）求 CD4 变化速度和变化速度和 HIV 变化速度变化速度 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少 要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。对每个病人而言，附件一中有 他的多期 CD4 和 HIV 测试值，
13、但缺少 CD4 和 HIV 的变化情况。为了反映 CD4 和 HIV 的变化，还应该增加两个指标，即 CD4 平均变化速度和 HIV 平均变化速度。iVciVh_ 121()/(1)iN nn ii nnnfcfcVcNttV6_ 121()/(1)iN nn ii nnnfhfhVhNttV（3）确定治疗的效果的评价准则）确定治疗的效果的评价准则 根据方案 ，考虑到方案中有些数据没有监测，所以我们参阅世界卫生组织对艾 滋病临床表现的分类和我国艾滋病病例的定义与诊断标准（见参考文献1） ，如果是合 理的用药组合及良好的依从性（即治疗效果为优秀） 。CD4+T 细胞持续性减少，则会 出现临床恶化
14、，即治疗效果差。 治疗效果评价准则如下：治疗效果评价准则如下： 一、治疗效果为优秀的评价准则一、治疗效果为优秀的评价准则如下： A）8 周后HIV 值250 个/l ;或者 8 周中 CD4 浓度减少的平均速度慢，即。 （负号表示 CD4 浓度下降）_ /0.001iiCVcf VV二、治疗效果为差的评价准则二、治疗效果为差的评价准则如下： C)8 周后 HIV 值5.0; D) 8 周后 CD4 值log(250+1)*S;B） 8 周中 CD4 浓度上升，。0iVc CD4+T 细胞持续性减少，则会出现临床恶化，说明继续治疗效果为差，此时满足 以下约束条件：9A）8 周后 CD4 的浓度l
15、og( 100+1)*S；B）8 周中 CD4 浓度逐渐下降，。0iVc 居于继续治疗效果优秀和差两个等级之间的为继续治疗继续治疗观察者。2.2.模型的求解及结论模型的求解及结论1）人体免疫力随着年龄变化的人体免疫力随着年龄变化的正态分布函数正态分布函数由图 2.1 易得应为 1245 之间的中间值为 28.5，为方差，我们经过多次试探得=30，于是得到的表达式为，这就是图 2.1 的函( )f x2(28.5) 18001( )30 2x f xe数关系式。当 x=28.5 时，=0.0133,根据病人的年龄 x，算出相应的，( )Max f x( )f x则就为该年龄病人免疫力应打的折扣
16、S()/( )f XMax f x疗效优秀的人数百分比继续治疗观察的人数百分比差的人数百分比 120263.125%6520.3125%5316.5625%220561.9335%6920.8459%5717.2205%321061.5836%8324.3402%4814.0762%421365.9443%5918.2663%5115.7895%算出 S 就知道每个年龄的病人与他正比的免疫力，然后得到其评价标准。将预测出的 CD4 的值与标准值进行比较，从而确定 4 中治疗方案中最好的一种方案。疗效优秀的多且差的少的一种方案为最优疗法。我们用加权给三种疗效进行加分。编程得到四种疗效的结果，第一种疗效优秀的人数为 202 人，继续治疗观察的人数 为 65 人，效果差的人数为 53 人。第二种
