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1、解决不等式恒成立解决不等式恒成立问题问题的几种方法及指数不等式与的几种方法及指数不等式与对对数不等式数不等式一、判别式法一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有), 0()(2Rxacbxaxxf1）对恒成立; 2）对恒成立 0)(xfRx 00a0)(xfRx.00 a例例 1 1已知函数的定义域为 R，求实数的取值范围。) 1(lg22axaxya解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有0) 1(22axaxRx解得。04) 1(22aa311aa或所以实数的取值范围为。a),31() 1,(U若二次不等式中的取值范围有限制，则可利
2、用根的分布解决问题。x例例 2 2设，当时，恒成立，求实数的取值范围。22)(2mxxxf), 1xmxf)(m解：设，则当时，恒成立mmxxxF22)(2), 1x0)(xF当时，显然成立；120)2)(1(4mmm即0)(xF当时，如图，恒成立的充要条件为：00)(xF解得。综上可得实数的取值范围为。1220) 1(0mF23mm) 1 , 3二、最值法（分类讨论）二、最值法（分类讨论）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立axf)(min)(xfa axf)(max)(xfa 例例 3 已知，若恒成立，求 a 的取值范围.aaxxxf3)
3、(22)(,2 , 2xfx解析解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.2)(,2 , 2minxfx若恒成立2)(,2 , 2xfx2)(,2 , 2minxfx 237)2()(22minafxfaOxy x-1或或，即 a 的取值范围为. 243)2()(2222minaaafxfa27)2()(22minafxfa 222, 5点评点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零mxf)(mxfmin)(mxf)(mxfmax)(点分布策略求解.练习、练习、若时，不等式恒成立
4、，求的取值范围。2,2x 23xaxaa解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。 23f xxaxa 2,2x f x（1）当即：时， 又所以不存在；22a 4a min2730f xfa7 3a4a a（2）当即：时， 又222a 44a 2min3024aaf xfa62a 44a 42a （3）当 即：时， 又22a4a min270f xfa7a 4a 74a 综上所得：72a 例例 4 4函数，若对任意，恒成立，求实数), 1 ,2)(2 xxaxxxf), 1 x0)(xf的取值范围。a解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，), 1 x0)(xf), 1 x02)(2 xaxxxf考
5、虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得), 1 x022axx), 1 x而抛物线在的最小值得axxxg2)(2), 1 x03) 1 ()(minagxg3a注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。)(xf2)(xaxxf)(xf三、确定主元（变换主元）三、确定主元（变换主元） 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数） ，而把另一个变x 量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要a 求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例例 5、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。2211xm x 2m mx解：设，对满足
6、的，恒成立， 2121f mm xx2m m 0f m 解得： 2221210202021210xxffxx1713 22x 例例 6 6对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 1 , 1a024)4(2axaxx分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次xa不等式在上恒成立的问题。044)2(2xxax 1 , 1a解：令，则原问题转化为恒成立（） 。44)2()(2xxaxaf0)(af 1 , 1a当时，可得，不合题意。2x0)(af当时，应有解之得。故的取值范围为。2x 0) 1(0) 1 ( ff31xx或x), 3() 1 ,(U注：一般地，一次函数
7、在上恒有的充要条件为。)0()(kbkxxf,0)(xf 0)(0)( ff三、分离变量法三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函 数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一 般地有：1）恒成立为参数）aagxf)()(max)()(xfag2）恒成立为参数）aagxf)()(max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。022axx), 1 xxxa22), 1 x而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 xxxh2)(2), 1 33a例例 7 7已知函数
8、时恒成立，求实数的取值范围。4 , 0(,4)(2xxxaxxf0)(xfa解： 将问题转化为对恒成立。令，则xxxa24 4 , 0(xxxxxg24)(min)(xga 由可知在上为减函数，故144)(2 xxxxxg)(xg4 , 0(0)4()(min gxg即的取值范围为。0aa)0 ,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、利用集合与集合间的关系四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值 ,m nf ag a f am g ana范围。例例 5、当时，
9、恒成立，求实数的取值范围。1,33xlog1ax a解：1log1ax Q（1）当时，则问题转化为 1a 1xaa11,3,3aa3 11 3aa3a（2）当时，则问题转化为01a1axa11,3,3aa1 3 13aa 103a 综上所得：或103a3a 五、数形结合五、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后 通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。23log0axx10,3xa解：由题意知：在内恒成立，23logaxx10,3x在同一坐标系内，分别作出函数和23yxlo
10、gayx观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下10,3x1a logayx23yx方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，01alogayx1 1,3 311log33a1 27a1127a 综上得：1127a上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分 析，选择适当方法准确而快速地解题。指数不等式的解法指数不等式的解法是利用指数函数的性质化为同解的代数不等式( )( )( )( )1 ( )( ); ( )( );fxg xfxg xa aaf xg x aaf xg x 时( )( )( )( )01 ( )(
11、); ( )( );fxg xfxg xa aaf xg x aaf xg x 时例 1：解不等式：解解 (1)原不等式2210.20.04xx221220.20.2212 (1)(3)0 13xxxx xx x 所以原不等式的解集为| 13xx 例 2：224,(01)xxxaaaa且解： 22422(1)124 340 (4)(1)0 14;xxxa aa xxx xx xx xx 当时或22422(2)0124 340 (4)(1)0 14xxxa aa xxx xx xx x 当时所以原不等式的解集为： 1|14ax xx 时或01| 14axx 时对对数不等式的解法数不等式的解法 a
12、1 时( )0 ( )( )( )0 ( )( )loglogaaf x f xg xg x f xg x ( )0 ( )( )( )0 ( )( )loglogaaf x f xg xg x f xg x 对对数不等式的解法（数不等式的解法（0a1） ）时时( )0 ( )( )( )0( )( )loglogaaf x f xg xg xf xg x ( )0 ( )( )( )0( )( )loglogaaf x f xg xg xf xg x 例 3：11 22log (32)log (1)xx解：原不等式32010321xxxx 2 3 1 3 2xxx 23 32x所以原不等式的解集为23|32xx例例 4 解不等式1318 329xx解:原不等式可化为：23 (3 )29 3180xx(39)(3 32)0xx原不等式的解集为23933xx或322log3xx或32|2log3x xx或0.1(21)logxy 例5：求定义域解：要使此函数有意义：只须 0.1(21)0logx21021 1xx 01xx01x 原不等式的解集为|01xx
