线性代数要与科学计算结成好伙伴

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1、1线性代数要与科学计算结成好伙伴线性代数要与科学计算结成好伙伴陈怀陈怀琛琛 西安电子科技大学 陕西 西安 710071， Email: 摘要：讨论了大学教学中科学计算能力的重要性，评价了我国在这个领域的落后状况。一是科学计算能 力的培养无人主管；二是线性代数课程忽视实用性，不教矩阵软件，与后续课的需求及计算机脱节。 这两者的长期割裂阻碍了我国课程和教育的现代化。文章提供的历史经验和国内外实践，都证明 这两者的结合可以产生巨大的创新效果。文章结合十五年来的改革经验，提出改进的建议，并介绍 了教育部“用 MATLAB 和建模实践改革工科线性代数”项目的实施情况。 关键词：教育现代化，科学计算能力，

2、线性代数，改革，矩阵运算，MATLAB, LINPACK一、科学计算能力的培养要作为大学教育的重要目标一、科学计算能力的培养要作为大学教育的重要目标过去工科大学生进大学时必须买的计算工具就是计算尺。因为谁都知道，工科就是要快速、精确 地作计算的。现在该买什么呢？还没有见到国内大学的入学通知上写明这点。在发达国家，这很清楚， 就是买“计算机+计算软件” 。为什么中国特殊？中国大学究竟是在计算器时代还是计算机时代？只 要看看各技术课教材，有几门是用计算机的？你就知道结果了！ 中国的经济和国防现代化的速度是让人瞩目的。所以大学生毕业遇到的马上就是大量的计算机辅 助设计/制造/管理系统。不要说大银行、

3、大商场、大武器、大工业都用计算机，就是小商户、售货员、 售票员用的也都是计算机，奇怪的是培养科技精英的大学，上课和做题用的却是计算器，主要靠毕业 设计的半年中由学生自己去摸索过渡到计算机。太落后了！如果上课时用的是计算机，通过三、四年 的课程学习，就能真正弄清和熟悉它，到工作中很快就可进行创新了。 改革开放初期，这个概念是清楚的，当时曾经把 FORTRAN 定为所有工科的必修课。但是在发 达国家科学计算软件快速升级的 1990 年前后，中国高等教育界竟然把所有的科学计算语言都从教学 计划中逐出，而且持续了近 20 年没有纠正。据说这问题来源于分片管理，科学计算属于数学、计算机和工科课程三不管区

4、域，没人为它说话。就是到现在，也没有任何一个教指委来管这件事。我国 在大学课程中使用计算机方面与世界各国的差距，在不断加大。 从世界的一般水平来看，可以列出右面的计算能 力教育进程表，我认为这是一个最低的、应该能普遍 达到的最低标准，可以作为指导原则。不然真是概念 混乱，比如谈到用计算机代替笔算做高斯消元，有人 竟说这不利于培养学生“计算能力” ，中小学手算了 12 年，到大学该培养的是手算还是机算能力呢？ 所谓科学计算能力，是指的利用现代计算工具利用现代计算工具 （包括硬件和软件）解决教学和科研中计算问题的能（包括硬件和软件）解决教学和科研中计算问题的能 力。它包括掌握最新的科学计算软件、建

5、立适当的计力。它包括掌握最新的科学计算软件、建立适当的计 算模型、采用正确的计算方法、实现高效的编程和运算模型、采用正确的计算方法、实现高效的编程和运 算、对计算结果作最佳的表述和图解、算、对计算结果作最佳的表述和图解、等多方面的等多方面的 综合能力。综合能力。所以提高科学计算能力当然是理工科数学 教育现代化中一个十分重要的基本环节。我觉得数学 教指委应该当仁不让，把教育的全程中计算工具的应 用纳入议程，并且在大学数学课中为之打好必要的基 础。 二。科学计算特别需要线性代数二。科学计算特别需要线性代数我从 1953 年开始任教，先后在力学机械、飞行控制、电子信息和系统工程领域执教。1994 年

6、我 满 60 岁，从副校长岗位上退下来时，恰好接触了 MATLAB 软件，发现它比 FORTRAN 等的编程效表表 1 计算能力和计算工具培养阶段表计算能力和计算工具培养阶段表教育阶段教育阶段学习的课学习的课程及方法程及方法计算能力水平计算能力水平工具工具毕业设计 和 工作阶段设计实践学习、使用、开 发、改善专用 CAD/CAM 软件计算 机大学本科 高年级各门理工 课程使用通用科学计 算软件，提高科 学计算和编程能 力大学本科 低年级线性代数，计算方法学会矩阵理论和 编程工具，掌握 科学计算基础计算 机中学代数四则及代数运算 能力计算 器小学算术手算能力笔2率高一个数量级，于是我决定利用我知

7、识面宽的优势，把数学软件用到各门本科课程中去，推动大学 本科教学的现代化。从 19942004 的十年，我写（译）了五本书，现在还在出版的主要是三本： （1） MATLAB 及其在理工课程中的应用指南1，2000 年初版，2007 年出的是第三版。这本 书把 MATLAB 用于数学（包括微积分、线性代数、概率统计） 、普通物理（含力学、电学、磁学、 分子物理、声学、光学） 、力学机械（含理论力学、材料力学、机械振动） 、电工电子（含电路、电子 线路、电机、高频电路） 、信号与系统（含连续、离散、系统函数、频谱） ，在一本书中介绍了把科学 计算方法应用于十多门课程的实例，共编了 150 多个程序

8、，当然对每门课而言，只举了几个实例，目 的是为了启发这个领域的教师继续努力，所以书名末有“指南”两字。 （2） MATLAB 及在电子信息课程中的应用2，2002 年初版，2006 年出的是第三版。这本书 主要讲了 MATLAB 在四门课电路理论、信号与系统、信号处理、自动控制原理中的应用。 每门课举了几十个例题，共 120 多个程序。比上本书就深入一些了。这本书已出版近八万册。 （3） 数字信号处理教程MATLAB 释义与实现3，这本书中包含了 180 个程序，对信号 处理的全部理论和应用都用科学计算的方法进行了诠释和演示，在许多方面都大大超越了现有的教材 的水平。大家知道，信号处理是一门理

9、论较深，数学用得很多的课程。它能用 MATLAB 全部解决， 说明科学计算语言已经非常成熟。不过这本书销售量平平，究其原因，一是能掌握 MATLAB 的老师 不多，二是学生机算基础不足，人们不敢用它做教材。 人们通常按教材中最早开始用 MATLAB 的时间为标准来衡量落后的年数，调查的结果是：自动 控制落后三年，信号处理落后八年，线性代数十五年。如果按实际使用情况（比如有 50%大学使用） 做标准，那就落后得没边了。因为我们所有的课程都远没有达到 50%机算普及度。 在编写了这十多门课、几百道例题的机算程序后，得出什么结论呢？ （1）机算非常优越：所有的题目都证明，机算的精度高、速度快、改变参

10、数，可立即得到新结 果。分析与设计无缝衔接，可升级创新，可三维形象甚至动画演示，大大缩短从学校到工作岗位的过 度时间，学生从中所能得到的知识比笔算题丰富得多，它是人才培养现代化的标志之一。 （2）矩阵建模是关键：计算器和计算尺都主要进行两个数之间的运算，和笔算一样，不必改变 模型，提高效率也不大；而计算机的特点则是海量数据的集群计算，用它取代计算器必须彻底改变计 算模型，各门课程原来都用的标量模型，采用矩阵建模是科学计算最关键的一步。我书中的程序，90%以 上都要用矩阵建模。只有掌握了矩阵，计算效率才能千百倍的提高，这也是科学计算的主要难点。 （3）线性代数最有用：在这几百个程序中，包括了微积

11、分、空间解析几何、非线性和超越方程、 常微分方程、偏微分方程，最后都归结到矩阵运算，说明大学的后续课中，代数问题比微积分多得 多，而且微积分经过离散化也都化为代数问题。目前线性代数是后续课中用的最少的数学课，要从最 没用的课变成最有用的数学课，关键在于在后续课中普遍普及科学计算。 （4）软件包功不可没：1970 年代，在 NSF 资助下，美国组织了大批数学家进行了线性代数软 件包 LINPACK（Linear Algebra Package）的开发（用的是 FORTRAN） ，这一软件包当时就包括了超 定方程和复数矩阵求解，MATLAB 就是调用的它。矩阵方程 Ax=b 的求解至今仍然是考验最

12、新计算 机速度的测试标准（Benchmark） ，这恰恰是利用了矩阵计算的复杂又规范的特点。2008 年测试表明， 新计算机达到的世界纪录是 1015次/秒，它的硬件采用了矩阵结构9。矩阵计算本该是考核计算机的， 拿来“折腾”人，既违反人机分工的科学，也是对几十年来科学家和数学家新成果的漠视。 结论是，各课门程在科学计算方面的落后除各自改革外，还必须从基础课线性代数抓起。三、线性代数和科学计算结合能大有作为三、线性代数和科学计算结合能大有作为情况很明显，后续课中没有一门课、一个老师会 叫学生用线性代数笔算消元方法解题的。什么道理？ 因为矩阵笔算方法既繁又易出错，单就其书写方法的 庞杂就令人厌恶

13、，根本比不上代入法通用。不信？用 一个例子来证明：某控制系统的框图如图 1，列出它 的方程组如下： 4G1G3G2G+ +1x2x3x4x1u2u图 1 某自动控制系统的结构图3134111321 14 12241 1 322332 2 43244311 00000000000 000000 1001001 000100xG xuxxGxG xG uxxGGuxG xxxGuxxuxxeeexu X = QX+PUX/-1U = (I-Q) P注这是一个五元的线性联立联立方程，可用三种方法解。（1）用代入法；（2）用矩阵笔算； （3）用矩阵机算。请问在座的老师，你会选哪种方法解这道题？我的结果

14、是：方法 1，用半页纸， 30 分钟；方法 2，用两页半纸，90 分钟；方法 3，10 条程序，10 分钟。各位可以试试看！我敢说， 90%以上的老师，都会选用代入法，不会用矩阵求逆的。老师自己都不喜欢这个方法，教学生干什么？ 那线性代数是不是没用了？不是！是因为我们的线性代数没学到家，只学了“格式规范”的庞杂的前 一半，没学“程序通用”的简洁的后一半。线性代数比代入法的优势和高效，关键在后一半。一套组 合拳，只学了第一招，不学第二招，哪能取胜呢。我再举一个例子，使大家知道后续课对代数 的需求，更能看到“线性代数+软件”组合拳的威 力。要解图 2 所示的滤波器，要列出 13 个线性方 程，要求

15、解这组联立线性方程组。用方法（1） 、 （2） ，一天也算不出来，且出错概率很大，用矩 阵机算，输入 20 条程序，5 秒钟就出结果了。 上面所举的例题又一次证明了线性代数与机算结合的威力。师生学会了这一招，就可多快好省地 解决复杂问题。以前人家没想到吗？不是的！没有机算工具，想到了也没用。因为这个方法要求软件 能进行高阶符号矩阵的求逆，MATLAB 的符号矩阵求逆函数 1996 年才发布，它不但基于 LINPACK 软件包，还购买了 Maple 公司的公式推导内核，可见课程改革要紧跟最新的科技成果。 历史上第一次证明矩阵与机算结合的巨大威力在 1949 年，当时美国的 Leontief 教授

16、用计算机解美国的经济方程，原是 500*500 阶的，方程类型和上述控制系统相似，也是求。限于当inv(I-Q)*P时计算机的水平，他只能将它先近似为 42*42 阶，因为没有高级语言和程序库，编程输入就用了几个 月，再用了 56 小时运行才得出结果。这个工作在 1973 年得到了诺贝尔奖，大大推动了美国线性代数 课与机算的结合。今天，数学软件已经如此简洁易用，为什么还甘愿落后于 60 年前的美国呢？ 吴文俊先生提出：“我国在体力我国在体力劳动劳动的机械化革命中曾的机械化革命中曾经经掉掉队队，以至造成，以至造成现现在的落后状在的落后状态态。在当前。在当前 新的一新的一场脑场脑力力劳动劳动的机械化革命中，我的机械化革命中，我们们不能重蹈覆不能重蹈覆辙辙。 。 ” 钱学森先生在 1989