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1、0习题九答案1. 求函数 u=xy2+z3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。,343解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)coscoscosuuuu ylxz22 (1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)coscoscos5.(2)()(3)343xyxzyyzzxy2. 求函数 u=xyz 在点（5,1,2）处沿从点 A（5,1,2）到 B（9，4，14）的方向导数。解：4,3,12,13.ABAB uuu ruuu r的方向余弦为ABuuu r4312cos,cos,cos131313 (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,
2、1,2)2105uyzx uxzy uxyz 故4312982105.13131313u l 3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的22221xyzab ,22ab 22221xy ab方向导数。 解：设 x 轴正向到椭圆内法线方向 l 的转角为 ，它是第三象限的角，因为2222220,xyb xyyaba y 所以在点处切线斜率为,22ab 2,2222.2ababbybaa 法线斜率为.cosa b于是 2222tan,sinbaabab 12222,zzxyxayb 22 ,222222222212().22abbazabablabababab 4.研究下列函数的极值： (1)z=
3、x3+y33(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6xx2)(4yy2);(4)z=(x2+y2);22()exy(5)z=xy(axy),a0.解：（1）解方程组22360360xyzxxzyy得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). zxx=6x6, zxy=0, zyy=6y6 在点（0，0）处，A=6，B=0，C=-6，B2AC=360，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=360，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=360,所以函数有极小值 z(2,2)
4、=-8.(2)解方程组222e (2241)02e (1)0x xx yzxyyzy得驻点为.1, 1222224e (21)4e (1)2ex xxx xyx yyzxyyzyz在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e20,所以函数有极小值.1, 12e1, 122z (3) 解方程组22(62 )(4)0(6)(42 )0xyzxyyzxxy得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=2(4y-y2), Zxy=4(3x)(2y) Zyy=2(6xx2) 在点（3，2）处，A=8，B=0，C=18，B2AC=8180，所以(0,0)点不是极值
5、点.2在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2AC0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222 e(1)02 e(1)0xyxyxxyyxy得驻点 P0(0,0),及 P(x0,y0),其中 x02+y02=1， 在点 P0处有 z=0，而当（x,y）(0,0)时，恒有 z0， 故函数 z 在点 P0处取得极小值 z=0. 再讨论函数 z=ue-u由，令得 u=1,de(1)duzuud0d
6、z u当 u1 时，；当 u1 或 x2+y20 时负定，故此时 P2是 z 的极大值点，且.3 ,273 3aa az5. 设 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数 z=z(x,y)，研究其极值。 解：由已知方程分别对 x,y 求导，解得484,281281zxzzy xzxyzx3令解得,0,0,zz xy0,2xyz 将它们代入原方程，解得.162,7xx 从而得驻点.16( 2,0),0722222222(281)(48 )4828(281)428 ,(281)4(281)8 .(281)zzzxxzzxx xzxzyzx x yzx zzxzy yzx 在点（-2，0）
7、处，B2-AC0 取得最小值.故在点处，S 取得最小值.1111,nnii iixynn 即所求点为.1111,0nnii iixynn 11. 已知平面上分别带有质量 m1,m2,m3的三个质点，问点111222333( ,),(,),(,)p x ypxyp xy的位置如何才能使该质点系对于 p 点的转动惯量为最小。( , )p x y解：该质点系对于 p 点的转动惯量为222222 123223311()()Immmxxyyxxyyxxyy1231 122331231122332()22202()2220xyImmm xm xm xm xImmm ym ym ym y 解上式得驻点1 1
8、2233112233123123,m xm xm xm ym ym ypmmmmmm 因驻点唯一，故转动惯量在点处取得最小值.1 12233112233123123,m xm xm xm ym ym ypmmmmmm *12. 已知过去几年产量和利润的数据如下：7产量 x(千件)4047557090100利润 y(千元)323443547285试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到 120 千件时工厂的利润。 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设 f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程组621()ii iuyaxb666 21116611,6.iiii
9、 iiiii iiaxbxy xaxby 把(xi,yi)代入方程组，得2983440224003 4026320ab ab 解得 a=0.884, b=-5.894 即 y=0.884x-5.894, 当 x=120 时，y=100.186(千元).13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点; 4t (2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点 M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点 M0(x0,y0,z0).解：2 sin cos ,cos2 ,2 cos sinxatt ybt zctt 曲线在点
10、的切向量为 4t ,0,444Txyzac当时， 4t ,222abcxyz8切线方程为.222 0abcxyzac 法平面方程为0()0.222abcacxyz 即 .22 022acaxcz（2）联立方程组2226 0xyz xyz它确定了函数 y=y(x),z=z(x)，方程组两边对 x 求导，得dd2220dd dd10ddyzxyzxx yz xx 解得 dd,ddyzxzxy xyzxyz在点 M0（1，-2，1）处，00dd0,1ddMMyz xx 所以切向量为1，0，-1. 故切线方程为 121 101xyz 法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0 即 x-z
11、=0. (3)将方程 y2=2mx,z2=m-x 两边分别对 x 求导，得 dd22 ,21ddyzymzxx 于是 dd1,dd2ymz xyxz 曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为0011,2m yz900000,11 2xxyyzz m yz 法平面方程为.000 001()()()02mxxyyzzyz14. t(0t2)为何值时，曲线 L：x=t-sint, y=1-cost,z=4sin在相应点的切线垂直于平面2t，并求相应的切线和法平面方程。20xyz解：,1 cos ,sin ,2cos2txt yt z 在 t 处切向量为,1 cos ,sin ,2cos
12、2tTttu r已知平面的法向量为.1,1,2n r且,故Tu rnr2cos1 cossin2 112t tt解得，相应点的坐标为.且 2t 1,1,2 221,1,2T u r故切线方程为112 22.112xyz法平面方程为 112(2 2)02xyz 即 .2042xyz15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z=x2+y2,点 M0(1,2,5);(2)z=arctan,点 M0(1,1,);y x 4解：（1） 00002,4.22yxmmmmzzyx 故曲面在点 M0(1,2,5)的切平面方程为10z-5=2(x-1)+4(y-2). 即 2x+4y-z=5. 法线
13、方程为 125 241xyz（2） 00 00222211,.22yxmm mmyxzzxyxy 故曲面在点 M0(1,1,)的切平面方程为 4z-=- (x-1)+(y-1). 41 21 2 法线方程为. 114 111 22zxy16.指出曲面 z=xy 上何处的法线垂直于平面 x-2y+z=6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量为.1, , 1ny xu r已知平面法向量为.21, 2,1n u u r且，故有1nu r2nu u r112yx 解得 x=2,y=-1,此时，z=-2. 即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为.212 121xyz 切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0 即 x-2y+z-2=0. 17. 证明：螺旋线 x=acost,y=asint,z=bt 的切线与 z 轴形成定角。证
