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1、金融衍生产品定价模型综述金融衍生产品定价模型综述蒲实（重庆大学数学与统计学院 2008 级统计 2 班）一摘要一摘要 衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍 生证券。十七世纪晚期，在荷兰的 Amsterdam 股票交易所，就已经有了期权这种形式的证 券交易。1973 年建立的 Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大带动了期权的交易。 19 世纪出现有组织的期货市场。 期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。最早的期权定价理论可以追 溯到 1900 年 Bachelier (1900) 的博士论文，Bache
2、lier 的主要贡献在于：发展了连续时间游 走过程。受 Louis Bachelier 工作的启发，Kiyoshi It 在二十世纪四、五十年代作出了随机 分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券 定价理论革命性的飞跃。但是，风险中性定价的概念直到 Black-Scholes（1973）和 Merton（1973）才得以突破。他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给 金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如 债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域 和非金融领域，包括各
3、种衍生证券定价、公司投资决策等。 我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生证券的定价（例如 MBS，奇异期权等）；数 值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释 Black-Scholes 模型不能解释的 现象（例如 Volatility smile）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。二关键词二关键词 金融衍生产品，维纳过程(wiener Processes) ，Ito(伊藤)引理，随机过程，布朗运功，套期 保值，鞅过程。三正文三正文1 二项树模型二项树模型 该模型由 Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了
4、拓展， 将二项分布用于描述股价运动，从此二叉树模型被广泛运用于衍生品的定价，成为构造离散时间价格运动的基本模型。定义如下：=标的资产现在的价格；=标的资产上涨的概0Sq率；=无风险利率；=标的资产上涨的幅度；=标的资产下跌的幅度；=衍生证券现rfudf在的价格；=当标的资产价格为时衍生物的价格；=当标的资产价格为时衍生ucuSdcdS物的价格对的限制为 我们构造无风险套期保值证券组合：以价格买一份股票，rfurdf 1S0买份以股票为标的物的衍生证券（称为套期保值比率）。如果这个套期保值证券组合mm 在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。得到：解得衍生证券的份数： 因为套期保
5、值证券组合是无风uSmcdSmcud00mSud ccud 0()险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以 即：从这个1 rf()()100rSmcuSmcfu式子得出衍生证券的价格：把套期保值比率代入得： cSrumcmrfuf011mccrdudcurudruf dff ()()()111设则从而，我们得到： 这里定义的prdudf()111purudf()cpcp crudf()11总是大于 0 而小于 1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率套期保值概率。从的定义可以看pp出，无套利条件成立当且仅当大于 0 而小于 1（即，是概率），所以，在urdf 1pp金融学里，我们又把称为等价鞅
6、测度。这儿所说的正是金融学的一个重要定理：无套利无套利p 等价于存在等价鞅测度等价于存在等价鞅测度。我们也可从另外一个角度来解释的意义：是当市场达到均衡pp 时，风险中性者所认为的值，即，股票价格上涨的概率。作为风险中性者，投资者仅仅q 需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有：从中解出值，()()11000rSquSq dSfq得到：所以，对一个风险中性者来说，=，而衍生证券的价格可以解释qrdudf()1pq为，在一个风险中性环境中，衍生证券的期望终端支付的折现值。在求得衍生证券价格的 过程中，有两点是至关重要的，一是套期保值证券组合的存在性；二是无风险的套期保值 证券组合的
7、的回报率为无风险利率。无套利定价原理很容易推广到多期二项树股票价格过 程。Cox, Ross and Rubinstein（1979）证明，当二项树模型中每期的时间趋于 0 时，股票价 格依分布收敛于对数状态扩散过程，而期权价格公式收敛于 Black-Scholes-Merton 定价公 式。2 Black-Scholes-Merton 模型模型 Black and Scholes (1973) 和 Merton (1973) 利用随机分析这种强有力的方法，第一次对期权定价问题提出了严格的解。标的股票的价格服从如下的随机微分方程)(tS,为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期)()()(td
8、wdttStdSxS)0(望回报率，为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，为标准布朗运0ttw动，为常数。无风险债券的价格服从如下的方程（、 为常x)(tBdttrBtdB)()()0(Br数）对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数 这里，我们并不知道函数的具体形式，只知道ttSCct),(C 它在是两次连续可微的。对函数利用 It 引理，我们得到00, TC , 这里，)()(),()(tdwtSttSCdttdcxYttT22 21)(),(),()(),(tSttSCttSCtSttSCtxxtxY下面，我们利用套期保值
9、的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。假设自融资交易策略=满足此要求，这里，表示在时a b,Ttbatt0:,at间 购买的股票份数，表示在时间 购买的债券的份数，则,tbtttttctBbtSa)()(tT 0,我们得到)()(tdBbtdSadcttt)()()()(tdwtSadtrtBbtSattt通过比较与的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。首先，我们比较)(tdwdt的系数，得到。我们得到从而)(tdwttSCaxt),(ttSCtBbtSttSCtx),()()(),(其次，我们比较的系数，得到，对于有)(),(),()(1tSttSCttSCt
10、BbxtdttTttSCtrSttSCttSrCxt),()(),(),(0),()(22 21ttSCtSxx为了成立，只需满足如下的偏微分方程C rC x tC x trxCx tx Cx ttxxx,1 2220，由欧式期权的到期日支付得边界条件， x tT, 00 C x TxK,x 0,利用 Feynman-Kac 公式，通过解带边界条件(1.2.8)的偏微分方程(1.2.7)，我们得到 Black-Scholes 期权定价公式这里 cxN dKeN drT 012()() dxKr TTTf 11 2 ln具体的解过程由 Smith (1976) 和 Malliaris (1983
11、) 给出。Smith 非常系统的ddT21给出了期权定价方法的应用，Malliaris 说明了随机分析的本质作用。Duffie (1996) 给出了 Black-Scholes-Merton 定价公式的数学基础以及金融解释，同时还给出了期权定价的金融学 解释。上面给出的欧式期权的定价方法的基本假设是市场无套利机会，同时应满足如下假 设：股票价格服从常波幅的扩散过程；市场连续交易；常无风险利率；市场无摩擦。在上 述假设下，期权定价这样原始的问题被刻画成金融思想和数学推导的完美结合。3衍生证券的一般定价方法衍生证券的一般定价方法 直到 1976 年，利用复合的证券组合一直是期权定价的基础。Cox
12、and Ross (1976) 引入 风险中性定价的概念，他们利用无风险利率代替股票价格过程的漂移项。在他们工作的基础上，Harrison and Kreps (1979)， Harrison and Pliska (1981) 建立了系统的风险中性定价的 理论框架以及与无套利的联系。无套利等价于存在等价概率测度，在等价概率测度下，期无套利等价于存在等价概率测度，在等价概率测度下，期 权和证券的价格以无风险利率折现后，是一个鞅过程权和证券的价格以无风险利率折现后，是一个鞅过程。这是动态资产定价的基础。根据资产定价的基本定理，对随机过程而言，存在等价鞅测度本质上等价于无套利机0, ttS会。换一
13、种说法，如果资产的折现价格不存在套利机会，则资产定价定理说明0, ttS原有的概率测度可以用一个新的概率测度代替，在新概率测度下，资产的折现价格过程是 一个鞅过程。早期的风险中性定价工作是以货币市场帐户作为计量单位的。事实上，计量 单位的选取有很大的灵活性。Geman, El Karoui and Rochet (1995) 证明可以选取不同的计量 单位。对于每一个计量单位，都有一个概率与其相对应，从而有不同的定价模型。纯折现 债券的价格，不同到期日的远期合约都可以用来作为计量单位。计量单位的选取的灵活性 产生了许多利率衍生证券的定价模型。4随机波幅模型随机波幅模型 Wiggins (1987
14、) 推广了 Black-Scholes-Merton 期权定价模型。假设（1.2.1）中的瞬时波幅服从一个扩散过程这里是一个标准布朗运动，它和布朗运动 dzdtdz的相关系数为。在这种市场中，因为有两种风险根源和，所以不能通过股票和wzw债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。波幅风险的价格由市场均衡来确定，而一 般来说，不存在期权价格闭形式解。Wiggins 通过有限差分、Kalman 滤子和 Monte Carlo 模拟计算方法来求解。在波幅风险价格是常数，波幅是同方差的 O-U 过程的假设下， Heston (1993)得到欧式看涨期权闭形式的解。5蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模
15、拟（Monte Carlo Simulation）是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到 权证价值期望的数值方法。如果股价运动服从伊藤过程，则当然股价如果服从其他分布， 只要给出具体表达式，就可以模拟。蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成的股价价 格的随机过程。在股票期权到期的时刻，标的股票价格的随机过程为TzdSSdSd)是一个维纳过程，是风险世界的期望收益率，是股票的波动率。为了模拟路径，dz)我们把期权的有效期分为 N 个长度为的时间段，则上式的近似表达式为t由于金融市场中，更多时候应用来代替，()( )( )( )S ttS tS ttS tt )lnSS根据伊藤引理，则有： 因此： 2()ln ( )(0.5)S ttS tdtdz)2ln ()ln ( )(0.5)S ttS ttdz )2()( )exp(0.5)S ttS ttt )蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值的样本值，即模拟实验。然后为每一个样本值计算TS期权收益并记录下来。产生足够多样本值后，就可以得到期权收益分布，通常需要计算其
