《高等数学(下册)期中考试题及答案20110504(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(下册)期中考试题及答案20110504(2)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学（下册）期中考试高等数学（下册）期中考试 20110504一、填空题（每小题 4 分，共计 40 分） 1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形 ABC 的面积为 。2、已知曲面在点 P 处的切平面平行于平面，则点224yxz0122zyxP 的坐标是 。3、函数在处可微的充分条件为 , 必要条件为 。),(yxfz ),(00yx4、设方程确定函数，则全微分 。azzyx2222),(yxzz dz5、设202),(xxdyyxfdxI，交换积分次序后，I 。6、设是曲面介于之间的部分，则曲面面积为 22yxz1, 0zz。 7、 ，其中。 Ld
2、syx)(22222:ayxL8、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分 0,122zyxz化为先对再对最后对三次积分，则 I= dvzyxfI),(zyx。9、设：若将三重积分在球面坐标系下化为三, 0, 1222zzyx zdVI次积分,则 I= 。10、设是椭圆周的正向，则曲线积分= 。 1422 yxLyxydxxdy224二、求解下列问题（共计 14 分）1、 （7 分）求函数)ln(22zyxu在点 A（1, 0，1）沿 A 指向点 B（3，-2，2）的方向的方向导数。2、 （7 分）已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，( , )f u v(1,1)2f( , )f u v, 求(
3、,( , ).zf xy f x y2(1,1).z x y 三、求解下列问题（共计 16 分）1、 （8 分）计算 3)1 (zyxdvI，其中是由0, 0, 0zyx及1zyx 所围成的立体域。2、 （8 分）设)(xf为连续函数，定义 dvyxfztF)()(222，其中222,0| ),(tyxhzzyx，求dtdF。四、求解下列问题（16 分）1、 （8 分）求 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(，其中 L 是从 A（a，0）经2xaxy到 O（0，0）的弧。2、 （8 分）求在区域上的1)2() 1(),(22yxyxf20| ),(22yxyxD最大值 和最小值。
4、 五、求解下列问题（共计 14 分）1、 （8 分）求抛物面的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面224yxz内部的部分的体积为最小。1) 1(22yx2、 （6 分） ）已知函数具有二阶连续偏导数，且， ( , )f x y(1, )0,( ,1)0fyf x，其中 D=（x，y）|0x1，0y1，计算二重积分( , )Df x y dxdya( , ).xy DIxyfx y dxdy高等数学（下册）期中考试答案高等数学（下册）期中考试答案 20110504一、1、； 2、 （1，1，2） ；3、函数在处的偏导数连2/50),(yxfz ),(00yx续; 函数在处连续, 偏导数存在. 4、
5、；),(yxfz ),(00yxdyzaydxzaxdz5、202/4222/),(),(yyydxyxfdydxyxfdy ； 6、； 7、；232 a8、； 9、10、 1111102222 ),(xxyxdzzyxfdydx 202 0103cossindrrdd二、1、函数)ln(22zyxu在点 A（1，0，1）处可微，且)1 , 0, 1(221zyxxuA2/1；01)1 , 0, 1(2222 zyyzyxyuA；2/11)1 , 0, 1(2222 zyzzyxzuA而),1 , 2, 2( ABl所以)31,32,32(ol,故在 A 点沿ABl 方向导数为：Alu Axu
6、 cos+Ayu cos+Azu cos. 2/131 21)32(032 212、解： 121(,( , )(,( , )( , ).zfxy f x yfxy f x yfx yx2 11122122(,( , )(,( , )( , )( , )(,( , )zfxy f x yfxy f x yfx yfx yfxy f x yx y 1 121222( , )( , ,( , )(,( , )( , ).fx yfx y f x yfxy f x yfx y由题意知， 12(1,1)0,(1,1)0ff从而2 11212(1,1)(2,2)(2,2)(1,1).zfffx y 三、1
7、、的联立不等式组为 yxzxyx101010:所以1010103)1 (xyxzyxdzdydxIxdyyxdx1021041 )1 (121101652ln21)43 11(21dxx x 2、在柱面坐标系中200022)()(thrdzrfzdrdtFtdrrhrrhf 03231)(2所以31)(232thtthfdtdF31)(222htfht四、1、连接 OA，由Green公式得： OAOALI OAOAL 0,220)coscos(yaxyxxxGreen dxdymyeye公式2 81am2. 得在 D 内的驻点， 0)2(20) 1(2yfxfyx),(yxf)2 , 1 (M
8、令)20(1)2() 1(2222yxyxL解方程组02002)2(202) 1(222yxLyyyLxxxL得条件驻点)4, 2(),4 , 2(21MM于是由得所求的最大值为 46，最小值为 1。46)(, 6)(, 1)(21MfMfMf五、1 由于介于抛物面，柱面及平面之间的立224yxz1) 1(22yx0z体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之间的立体体1) 1(22yx0z积为最大即可。V设与切于点，则的法向量为，且224yxz),(000zyxP) 1,2 ,2(00yxn，切平面方程为：2 02 004yxz0)()(2)(200000zzyyyxxx即2 02 00
9、0422yxyyxxz于是222 02 0001)1()4sin2cos222dyxyxzdVyx（极坐标)42(2 02 00yxx则由，得驻点（1，0） 0 00 020)22(yyVxxV且. 5,50)0, 1(zV由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：32 xz2 因为，所以 (1, )0fy ( ,1)0f x(1, )0,( ,1)0.yxfyfx从而1100( , )xyIxdxyfx y dy11 1000( , )( , )yxx yx yfx yfx y dy dx 1100( , )xdyxfx y dx 111000( , )( , )x xxf x yf x y dx dy 1100( , ).dyf x y dxa
