同济版高数下习题册答案

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1、学霸联盟整理同济第六版高数下习题册答案同济第六版高数下习题册答案第八章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念 一、设.),(:,),(,),(22222yyxfyxyxyxyxf求二、求下列函数的定义域：1、 2221)1 (),(yxyxyxf;1| ),(22 xyyx2、 xyzarcsin;0,| ),(xxyyx三、求下列极限：1、 （0）222)0 , 0(),(sinlimyxyxyx2、 () xyxxy3)2,(),()1 (lim6e四、证明极限 不存在.242)0 , 0(),(limyxyxyx证明：当沿着 x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时

2、，极限为, 2xy 21二者不相等，所以极限不存在五、证明函数 在整个 xoy 面上连续。 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyx yxxyyxf证明：当时，。当时，)0 , 0(),(yx为初等函数，连续),(yxf)0 , 0(),(yx，所以函数在（0，0）也连续。所以函)0 , 0(01sinlim 22)0 , 0(),(f yxxyyx 数 在整个 xoy 面上连续。 六、设且当 y=0 时，求 f(x)及 z 的表达式.)(2yxfyxz2xz 解：f(x)=，zxx 2yxyyx2222 2 偏导数42244222222)(),(yyxxyy

3、xyyxf答案：学霸联盟整理1、设 z= ,验证 xy xexyzxy yzyxzx证明：，xy xy xy ex,exyey yz xzzxyxexyxyxy yzyxzx2、求空间曲线在点（）处切线与 y 轴正向夹角() 21:22yyxz 1 ,21,23 43、设, 求 ( 1)yxyxyyxfarcsin) 1(),(2) 1 ,(xfx4、设, 求 ， ，yz xu xu yu zu 解： ， 1 yz xyz xuxxyz yuyz ln2xxyzuyz ln15、设，证明 : 222zyxuuzu yu xu2222222 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（

4、偏导）？说明理由 0, 00,1sin),(2222 22yxyxyxxyxf连续； 不存在， )0 , 0(0),(lim00fyxfyx201sinlim)0 , 0( xf xx0000lim)0 , 0( 0 yf yy7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 xbxafbxafx),(),(lim 0（2fx(a,b)） 3 全微分 1、单选题 （1）二元函数 f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 _(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数 f(x,y)，下列有关偏导

5、数与全微分关系中正确的是_(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在学霸联盟整理（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定 存在 2、求下列函数的全微分：1） xy ez )1(2dyxdxxyedzxy 2） 解：)sin(2xyz )2()cos(22xydydxyxydz3） 解：zy xu xdzxzyxdyxzdxxzyduzy zy zy lnln1213、设， 求 )2cos(yxyz )4, 0(dz解：dyyxyyxdxyxydz)2sin(2)2(cos()2sin(=)4, 0( |dzdydx244、设 求： 22)

6、,(yxzzyxf) 1 , 2 , 1 (df)542(251dzdydx5、讨论函数在（0，0）点处 )0 , 0(),(,0)0 , 0(),( ,1sin)(),(2222yxyx yxyxyxf的连续性 、偏导数、 可微性解： 所以在（0，0）点处连续。)0 , 0(01sin)(lim 2222)0 , 0(),(f yxyxyx ),(yxf0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(,0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0( )0 , 0(),()0 , 0(),( yfyffxfxff yxyyxx，所以可微。0 )()(0),(22 yxyxf4 多元复合函数的求导

7、法则1、 设，求tvevtuuz,sin,dtdz解：=dtdz1cos .(sin )lnsin(sin )ttetetttette2、 设，求,)(32yxyxzyz xz ,23123(23 )()3()ln(),xyxyzxy xyxyxyy学霸联盟整理3、 设， 可微，证明 )(2xyfxznfnzyzyxzx24、 设，其中具有二阶连续偏导数，求， )2 ,(22xyyxfzf22xz yxz 222yz 解： , 1222zxfyfx,1222zyfxfy 21112221222 ( 2 )2 )22 ( 2 )2 )zx fyfxfy fyfxx y =22 111122224

8、4()4fxyfxyfxyf,2 22 111122222484zfx fxyfy fx2 22 111122222484zfy fxyfx fy 5、 设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求)(),(yxgxyxyfzfgyxz 2解： ， 1221zyf yfgxxy2111122122222231111()()zyxfy fxfffxfggx yxxxxyy 6、 设，求),(zyxFu ),(yxfz )(xydxdu解：。dxdu)()(321xffFxFFyx7、设，且变换 可把方程=0 化为 ， ),(vuzz ayxvyxu222 6xz yxz 222yz 02 v

9、uz其中具有二阶连续偏导数，求常数的值 za) 3(a证明： vz uz xz vzauz yz 22222222vu vuzuzxz 22222222 44 vuavuza uzyz 222222 )2(2 vuavuza uz yxz 得： a=30)6()510(2222 vuaavuza8、设函数 f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,af) 1 , 1 (/ 1bf) 1 , 1 (/ 2 又， 求 和 (1) , ),(,)(xxfxfxfx ).1 () 1 (/ (a+ab+ab2+b3) 5 隐函数的求导公式1、 设，求yxyylndxdy学霸联盟整理解：令，(

10、 , )lnF x yyyxy11,ln ,lnxydyFFydxy 2、 设由方程确定，其中可微，证明 ),(yxzz )(222 yzyfzyxfxzyzxyxzzyx22)(2223、 设由方程所确定，其中可微，求),(yxzz zyezxfyxz 2,1,)1 (zz yz zxz xz yxz 23)1 (zxz 4、 设，求， ( ，) 222221yxzzyx dxdy dxdzdyx dxy 0dz dx5、 设由方程所确定，可微，求),(yxzz 0),(xzzyxyFFyz xz ,解：令 ，则( , , )F x y z (,)F xy yz xz13122323,yxz

11、zFFF yzFF xFzz xFyFFxFFxF 6、设由方程所确定，求 (),(yxfz 0yxzeyxzdzdydxdz7、设 z=z(x,y)由方程 所确定，求, ,yzyzxxy3)cos(3xz yz , )sin(3)cos(3ln.32yzxyzyzy xzxy)sin(31)sin(3ln3 .2yzxyzyzxzx yzxy 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程tztytx3,sin2,cos24t解：切线方程为3 224 322zxy法平面方程0)43( 3)2(2)2(2zyx2、 求曲线 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 22222

12、250 yxzzyx解：切线方程为 ，法平面方程：05 34 43zyx034 yx3、 求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程932222zyx解：切平面方程为 0)2(2) 1( 3) 1(2zyx及法线方程22 31 21zyx学霸联盟整理4、 设可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一),(vuf0),(bzaybzaxf定向量平行 证明：令，则 ),(),(bzaybzaxfzyxF),(,21212121bfbfafafnbfbfFafFafFzyx，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。0),(abbn000,zyxabb,5、 证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平32 32 32 32 azyx0( a方和为2a证明：令，则),(zyxF32 32 32 32 azyx,32,32,3231 31 31zFyFxFzyx在任一点处的切平面方程为000,zyx0)()()(031003100310zzzyyyxxx在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为,323103231032310azayax2a证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点)(xyxfz )0(),(0000xzyxM7、设 F(x,y,z)具有连续偏导数，且对