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1、Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 难点 31 数学归纳法解题 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突 出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. 难点磁场 ()是否存在 a、b、c 使得等式 122+232+n(n+1)2=12) 1( +nn(an2+bn+c). 案例探究 例 1试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n1,nN*且 a
2、、b、 c 互不相等时，均有：an+cn2bn. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法： 本题中使用到结论： (akck)(ac)0 恒成立(a、 b、 c 为正数)， 从而 ak+1+ck+1 akc+cka. 证明：(1)设 a、b、c 为等比数列，a=qb,c=bq(q0 且 q1) an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn)2bn (2)设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想2nnca +(
3、2ca+)n(n2 且 nN*) 下面用数学归纳法证明： 当 n=2 时，由 2(a2+c2)(a+c)2，222 )2(2caca+设 n=k 时成立，即,)2(2kkkcaca+则当 n=k+1 时，41 211 =+kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 41(ak+1+ck+1+akc+cka)=41(ak+ck)(a+c) (2ca+)k(2ca+)=(2ca+)k+1 例 2在数列an中，a1=1，当 n2 时，an,Sn,Sn21成等比数列. (1)求 a2,a3,a4，并推出 an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列an所有项的和. 命题意图
4、：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，Sk=321 k应舍去，这一点往往容易被忽视. Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 技巧与方法：求通项可证明nS1是以11 S为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式. 解：an,Sn,Sn21成等比数列，Sn2=an(Sn21)(n2) (*) (1)由 a
5、1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=32由 a1=1，a2=32,S3=31+a3代入(*)式得：a3=152同理可得：a4=352,由此可推出：an= =) 1( )12)(32(2)1( 1nnnn(2)当 n=1,2,3,4 时，由(*)知猜想成立. 假设 n=k(k2)时，ak=)12)(32(2 kk成立 故 Sk2=)12)(32(2 kk(Sk21) (2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0 Sk=321,121 =kSkk(舍) 由 Sk+12=ak+1(Sk+121),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk21) .1, 1) 1(23)1(2
6、221 12122) 12(11112 112 12命题也成立即+=+=+=+ + +knkkaakaakaakkkk kk k由知，an= =)2()12)(32(2) 1( 1nnnn 对一切 nN 成立. (3)由(2)得数列前 n 项和 Sn=121 n,S=lim nSn=0. 锦囊妙记 (1)数学归纳法的基本形式 设 P(n)是关于自然数 n 的命题，若 1P(n0)成立(奠基) 2假设 P(k)成立(kn0)，可以推出 P(k+1)成立(归纳)，则 P(n)对一切大于等于 n0的自 然数 n 都成立. (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几
7、何中计算问题，数列的通Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 项与和等. 歼灭难点训练 一、选择题 1.()已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数 m,使得对任意 nN,都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2.()用数学归纳法证明 3kn3(n3,nN)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空题 3.()观察下列式子
8、：47 41 31 211 ,35 31 211 ,23 21122222+nnn?. 7.()已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145. (1)求数列bn的通项公式 bn; (2)设数列an的通项 an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1)记 Sn是数列an的前 n 项和， 试比较 Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论. 8.()设实数 q 满足|q|1,数列an满足： a1=2,a20,an an+1=qn,求 an表达式，又如果lim nS2n3,求 q 的取值范围. 参考答案 难点磁场 解： 假设存在a、 b、 c使题设的等式成立， 这时令n=
9、1,2,3,有 =+=+=+=101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，对 n=1,2,3 下面等式成立 122+232+n(n+1)2=)10113(12) 1(2+nnnnGenerated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 记 Sn=122+232+n(n+1)2 设 n=k 时上式成立，即 Sk=12)1( +kk(3k2+11k+10) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2)1(
10、 +kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 =12)2)(1(+kk(3k2+5k+12k+24) =12)2)(1(+kk3(k+1)2+11(k+1)+10 也就是说，等式对 n=k+1 也成立. 综上所述，当 a=3,b=11,c=10 时，题设对一切自然数 n 均成立. 歼灭难点训练 一、1.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 f(1),f(2),f(3)能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除. 证明：n=1,2 时，由上得证，设 n=k(k2)时， f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， f
11、(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1*(2k+7)3k =(6k+27)3k(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k2*(k2) f(k+1)能被 36 整除 f(1)不能被大于 36 的数整除，所求最大的 m 值等于 36. 答案：C 2.解析：由题意知 n3，应验证 n=3. 答案：C 二、3.解析：11112 )11 (1123 21122+=+(2)假设当 n=k 时成立，即2413 21 21 11+kkk? 2413 )1)(12(21 2413221 121 2413 11 221 121 241311 11 221 121 21 31 21,1+=+=+=
12、kkkkkkkkkkkkkkkn?时则当7.(1)解： 设数列bn的公差为 d,由题意得 = =+=311452) 110(10101 111dbdbb ,bn=3n2 (2)证明：由 bn=3n2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231 n) =loga(1+1)(1+41)(1+ 231 n) 而31logabn+1=loga313 +n,于是，比较 Sn与31logabn+1*的大小比较(1+1)(1+41)(1+231 n)与313 +n的大小. 取 n=1，有(1+1)=33311348+= 取 n=2，有(1+1)(1+33312378)41+=
13、推测：(1+1)(1+41)(1+231 n)313 +n(*) 当 n=1 时，已验证(*)式成立. 假设 n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)(1+231 k)313 +k则当 n=k+1 时，)1311 (13)2) 1(311)(2311 ()411)(11 (3 +kkkk? Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 3131323+=kkk333222333331)1(343)23(1313
14、0) 13(49 ) 13() 13)(43()23()43()131323(+=+=+=+kkkkkkk kkkkkkkk31) 1(3)1311)(2311 ()411)(11 (+kkk?从而,即当 n=k+1 时，(*)式成立 由知，(*)式对任意正整数 n 都成立. 于是，当 a1 时，Sn31logabn+1*,当 0a1 时，Sn31logabn+1* 8.解：a1a2=q,a1=2,a20, q0,a2=29, anan+1=qn,an+1an+2=qn+1* 两式相除，得qaann12=+,即 an+2=qan 于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=21qn(n=1,2,3,) 综合，猜想通项公式为 an= =)(2 21)(12 21NNkknqkknqkk时时下证：(1)当 n=1,2 时猜想成立 (2)设 n=2k1 时，a2k1=2qk1则 n=2k+1 时，由于 a2k+1=qa2k1* a2k+1=2qk即 n=2k1 成立. 可推知 n=2k+1 也成立. 设 n=2k 时，a2k=21qk,则 n=2k+2 时，由于 a2k+2=qa2k*, 所以 a2k+2=21qk+1,这说明 n=2k 成立，可推知 n=
