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1、2014 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷1 / 72014 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科） 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给也的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）|0Mx x2|1,Nx xxRMN I（A） （B） （C） （D）0,10,10,10,12函数的最小正周期是( ) cos 26f xx（A） （B） （C） （D）2243定积分的值为( ) 102xxe dx（A） （B） （C） （D）2e1ee1e4根据右边框图，对大于 2 的整数，得出数列的通项公式N 是( )（A） （B）
2、 （C） （D）2nan21nan2nna 12nna5已知底面边长为 1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球2的体积为( ) （A） （B） （C） （D）32342436从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) （A） （B） （C） （D）1 52 53 54 57下列函数中，满足“”的单调递增函数是( ) f xyf x fy（A） （B） （C） （D） 1 2f xx 3f xx 1 2x f x 3xf x 8原命题为“若互为共轭复数，则” ，关于逆命题，否命题，逆否命12,z z12| |zz题
3、真假性的判断依次如下，正确的是( ) （A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假9设样本数据的均值和方差分别为 1 和 4，若（为非零常1210,x xxLiiyxaa2014 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷2 / 7数， ） ，则的均值和方差分别为（ ）1,2,10i L12,10,y yyL（A） （B） （C） （D）1+ ,4a1,4aa1,41,4+a10如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离 10 千米处下A 降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部 分，则函数的解析式为（ ）（A） （B）313 1255yxx324 1
4、255yxx（C） （D）33 125yxx331 1255yxx 二填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11已知，则 _。42alg xax 12若圆的半径为 1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 C1,0xy C。13设，向量02，若，sin2 ,cosarcos ,1br barr/则_。tan14观察分析右表中的数据，猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_。EVF，15 （考生请注意：请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分）设，且，, ,a b m nR225ab5manb则的最小值为_。22mn如图，中，以为直径的半圆ABC6BC
5、BC分别交于点，若，则,AB AC,E F2ACAE_。EF 在极坐标系中，点到直线的距离是_。2,6sin16三解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16 （本小题满分 12 分）的内角所对边分别为。若成ABC, ,A B C, ,a b c, ,a b c等差数列，证明：；若成等比数列，求的最小CACAsin2sinsin, ,a b cBcos多面体面数F顶点数V棱数E三棱锥569五棱锥6610立方体68122014 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷3 / 7值。17 （本小题满分 12 分）四面体及其三视图如图所示，过ABCD的中点作平
6、行于的平ABE,AD BC面分别交四面体的棱于,BD DC CA点。证明：四边形是矩形；求直线与平面夹角的正弦,F G HEFGHABEFGH值。18 （本小题满分 12 分）在直角坐标系中，已知点，xOy 1,1A，点在三边围成的区域（含边界）上。若2,3B3,2C,P x yABC，求；设，用表示，0PCPBPA|OPuuu r,OPmABnAC m nRuuu ruuu ruuu r yx,nm并求的最大值。nm19 （本小题满分 12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如右表。设表示在这块地上种
7、植 1 季此作物的利润，求的分布列；若XX在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率。20 （本小题满分 13 分）如图，曲线由上半椭圆和C22122:10,0yxCabyab部分抛物线连接而成，的公共点2 2:10Cyxy 12,C C为，其中的离心率为。求的值；过点,A B1C3 2, a b的直线 与分别交于（均异于点） ，若Bl12,C C,P Q,A B，求直线 的方程。APAQl21 （本小题满分 14 分）设函数，其中 ln 1f xx 0g xxfxx是的导函数。，求 fx f x 1gxg x 1nngxg gxnN 的表达
8、式；若恒成立，求实数的取值范围；设，比较 ngx f xag xanN作物产量()kg300500作物市场价格(元/)kg610概率0.50.5概率0.40.62014 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷4 / 7与的大小，并加以证明。 1nig i nf n2014 年普通高校招生全国统考数学试卷（陕西卷）解答一BBCCD CDBAA11；12；13；14；15，3，1 102211xy1 22FVE516解：因成等差数列，故。由正弦定理得, ,a b c2acb，又，故；sinsin2sinACBsinsinBACsinsin2sinACAC因成等比，故。由余弦定理得，, ,a b c
9、2acb2221cos222acacacacBacac当且仅当时取等号。所以的最小值为。accosB1 217解：由三视图知，BDDCBDADADDC2BDDC。由题面，面面，面面1AD /BCEFGHEFGH IBDCFGEFGH I，故，因此。同理，ABCEH/BCFG/BCEH/FGEH/EFAD ，故。所以四边形是平行四边形。又，/HGAD/EFHGEFGHADDC，故面。所以，因此，从而四边形BDADAD BDCADBCEFFG 是矩形；EFGH以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，D,DB DC DAuuu r uuu r uuu r, ,x y z0,0,1A，。设平面2,
10、0,0B0,2,0C0,0,1DA uuu r2,2,0BC uuu r2,0,1BA uu u r的法向量，因，故即EFGH, ,nx y zr/EFAD/BCFG00n DAn BCr uuu rr uuu r。取，故。0 220z xy 1,1,0n r210sin|cos,| |5|52n BAn BAn BAr uu u rr uu u rruu u r18解：由题，故，解得，063 ,63PAPBPCxyruu u ruu u ruuu r630 630x y 2 2x y 因此，从而；2,2OP uuu r| 2 2OP uuu r因，故，OPmABnACuuu ruuu ruu
11、u r ,2 ,2x ymnmn-1321321OCBAyx2014 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷5 / 7故，两式相减得。令，由图知，当直线过点22xmnymn mnyxyxtyxt时， 取得最大值 1，从而的最大值为 1。2,3Btmn19解：设事件表示事件“作物产量为 300” ，表示事件“作物市场价格为AkgB6 元/” ，由题知，。因为“利润=产量市场价格-成本” ，所以kg 0.5P A 0.4P B 所有可能的取值为。因为X4000,2000,800， 40000.5 0.60.3P XP A P B 20000.5 0.40.5 0.60.5P XP A P BP A
12、 P B，。所以的分 40000.5 0.40.2P XP A P BX布列如右表所示；设表示事件“第 季利润不少于 2000 元” （） ，由题知相互独iCi1,2,3i 123,C C C立，由知。3 季利润不少于 400020000.81,2,3iP CP XP Xi2000 元的概率为，3 季中有 2 季利润不 3 1231230.80.512P C C CP CP CP C少于 2000 元的概率为。2 1231231233 0.80.20.384P C C CP C C CP C C C 所以 3 季中至少有 2 季利润不少于 2000 元的概率为。0.5120.3840.89620解：在方程中令得，且，是的左右顶点。12,C C0y 1b 1,0A 1,0B1C设的半焦距为，由及可得。故，；1Cc3 2c a 2221acb2a 2a 1b 由知上半椭圆：，易知直线 与轴不重合也不垂直，设1C2 2104yxylx其方程为，代入的方程并整理得10yk xk1C（*） 。设，因直线 过点，故是方程22224240kxk xk11,P x ylB1x （*）的一个根，由韦达定理，从而，知。同2124 4kxk128 4kyk22248,44kkPkk 理由得，则，211yk xyx 21,2Qkk
