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1、1烟 台 大 学毕 业 论 文（设 计）函数极限的求法函数极限的求法申请学位： 理学学士 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 信息与计算科学 姓 名： 学 号： 201063502139 指导老师： 2014 年年 5 月月 29 日日烟台大学2烟台大学毕业论文（设计）任务书烟台大学毕业论文（设计）任务书院（系）：数学与信息科学学院姓名廖春 华学号201063502139毕业届 别2014专业信息与计算科学毕业论文（设计）题 目函数极限的求法指导教师郭常忠学历博士研 究生职称副教 授所学专 业应用数学具体要求(主要内容、基本要求、主要参考资料等)：课题研究的目的和意义： 在自然科学中、工程
2、技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。 首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。 其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学
3、中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。 第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。 第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。主要内容：关于函数极限的若干求法主要参考资料：欧阳光中：朱学炎.金福临.陈传璋.数学分析.复旦大学数学系.高等教育出版社.2007刘书田：高等数学.北京大学出版社.20053进度安排： 第一阶段，4 月 8 日4 月 19 日 收集资料，查阅文献 第二阶段，4 月 20 日4 月 30 日 参考资料，完成初稿 第三阶段，5 月 1 日5 月 15 日 修改、校正正文 第四阶段，5 月 16
4、 日5 月 29 日 检查、整理全文 定稿指导教师（签字）： 年 月 日院（系）意见： 教学院长（主任） （签字）： 年 月 日备注：函数极限的定义性质及作用在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用 一个数除以的麻0 烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个 过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说 他的极限为该数 你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定 义还算比较完善，给出了正确推论的可能 ，这个概念是成功的。 限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解 答而产生的. 例如：我国
5、古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算 圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准定义：对数列，若存在常数，对于任意，总存在 nxa04正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限。NnNnxaa nx函数极限标准定义：设函数大于某一正数时有定义，若存在常数， ,f xxA对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称0XxXnxA是函数在无穷大处的极限。A f x设函数在处的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意 f x0xA，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数00xx0xxA在处的极限。 f x0x函数极限具有的性质：性质 1（唯一性） 如果存在，则
6、必定唯一 lim xaf x 性质 2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界0lim( ) xxf x f0x性质 3（保序性） 设 lim,lim xaxaf xbf xc 性质 4（迫敛性）设，且在某内有00lim( )lim ( ) xxxxf xh xA 0 0(;)Ux，则.( )( )( )f xg xh x0lim ( ) xxh xA 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二、函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列
7、极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。51.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意nXa给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数 NnNnXaa列的极限.记为.nXlimnnXa 例 1: 按定义证明.0!1lim nn解: 11
8、112nnnnn 令,则让即可,1 n n 1存在,当时,不等式: 成立,1N nN111n1n21n!nn 所以0!1lim nn2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为 0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随 n 或 x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例 2: 求,
9、其中.nnnbbbaaa LL2211lim1, 1ba解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,bbbbbaaaaan nn n 111 ,1111 21 2LL原式 1111lim111 111lim11nnnna baa ba bb 63.利用夹逼性定理求极限求极限当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例 3:求的极限。21 nn解: 对任意正整数 n,显然有,nnn
10、nn n221122而,由夹逼性定理得01n02n01lim2nnn4.利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，1sinlim 0 xxxexnxxxnnxx 10)1 (lim)11 (lim)11 (lim第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例例 4 4：求极限xxxx 11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指1 x数部分。解：2221 212112111lim121lim11li
11、mexxxxxxxxxxx 75.利迫敛性来求极限设,且在某内有,则00lim( )lim( ) xxxxf xg xA ),( 0xuo( )( )( )f xh xg x0lim ( ) xxh xA 例例 5 5：求的极限 01lim xxx 解：. 且由迫敛性知 Q11x1xx 0lim(1)1 xx 01lim xxx 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。6.用洛必达法则求极限 洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和x( )x满足：和的极限都是或都是无穷大；和都可导，( )g x1（）(
12、 )x( )g x0（2）( )x( )g x且的导数不为；存在（或是无穷大），则极限也一定( )g x0（3）( )lim( )fx g x( )lim( )f x g x存在，且等于，即= 。利用洛必达法则求极限，由于分( )lim( )fx g x( )lim( )f x g x( )lim( )fx g x类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例 6:求20cos1limxxx解: 是待定型 0020cos1limxxx21 2sinlim 0 xxx注：运用洛比达法则应注意以下几点81、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导
13、。0,0 2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。7.利用定积分求极限设函数 在区间上连续，将区间分成个子区间 f x, a b, a bn在每个子区任取一点，00112,.ia xx xx xx b1,iixxi1,2,ni作和式（见右下图），当时，(属于最大的区间长度 )该和式无限接近于0某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间的定积分。要求深刻理解与熟练a,b掌握的重点内容有：1、定积分的概念及性质。2、定积分的换元法和分部积分
14、法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式。要求一般理解与掌握的内容有：4、广义积分的概念与计算。例 7:求1123lim(0)pppppnnpn解: )0(321lim1pnnpppppnL11lim( )n pnii nn设,则在内连续,pxxf)()(xf0,1,1,1 ni ni ni nxii取所以, p inif)()(所以原式1110pdxxp难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。98.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。例 8：求的值21limsin xxx解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以21lim xxlimsin xx 还是无穷小量，即21limsin xxx21limsin0 xxx9.利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特
