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1、2015 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷1 / 72015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科） 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给也的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则MN U（ ）2|Mx xx|lg0Nxx（A） （B） （C） （D）0,10,10,1,12某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教 师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( ) （A）167 （B）137 （C）123 （D）933如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段3s
2、in6yxk时间水深（单位：）的最大值为( ) m（A）5 （B）6 （C）8 （D）104二项式的展开式中2x的系数为 15，则n ( )1nxnN（A）4 （B）5 （C）6 （D）75一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) （A）3 （B） （C）24 （D）4 346 “sincos”是“cos20”的( ) （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7对任意向量, a br r ，下列关系式中不恒成立的是( ) （A）| |a ba br rrr（B）|ababrrrr（C） （D）22|ababrrrr22ababab
3、rrrrrr8根据右边的图，当输入为 2006 时，输出的y ( ) x （A）28 （B）10 （C）4 （D）29设，若， lnf xx0abpfab，则下列关系式中正确的是（ 2abqf 1 2rf af b）2015 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷2 / 7（A）qrp （B）qrp （C） prq （D）prq10某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原,A B料。已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙 产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得 最大利润为（ ） （A）12 万元 （B）16 万元 （C）17 万元 （
4、D）18 万元11设复数，若| 1z ，则yx的概率为（ ）1,zxyi x yR（A）31 42 （B）11 42 （C）11 2 （D）11 212对二次函数（为非零常数） ，四位同学分别给出下列结论， 2f xaxbxca其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） （A）是的零点1 f x（B）1 是的极值点 （C）3 是的极值 （D）点在曲线 f x f x2,8上 yf x二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分）13中位数 1010 的一组数构成等差数列， 其末项为 2015，则该数列的首项为_。14若抛物线的准线经220ypx p过双曲线221xy的一
5、个焦点，则 。p 15设曲线xye在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则0,110yxxP的坐标为_。P16如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型 （图中虚线表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_。 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）的内角所对边分别为，向量ABC, ,A B C, ,a b c与平行。求；若7a ，2b ，求的面, 3mabu rcos ,sinnABrAABC积。甲乙原料限额（吨）A3212（吨）B12845010 m2 m2 m2015 年高考真题理
6、科数学（解析版） 陕西 卷3 / 718 （本小题满分 12 分）如图1，在直角梯形中，ABCD，是的中点，是与/ADBC090BAD1ABBC2AD EADOAC的交点。将沿折起到的位置，如图2。证明：平面；BEABEBE1ABECD 1AOC若平面平面，求平面与平面1ABE BCDE1ABC夹角的余弦值。1ACD19 （本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量TT为 100 的样本进行统计，结果如右表所示。求的分布列与数学期望；刘教授驾TET车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返
7、回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率。20 （本小题满分 12 分）椭圆的半焦距为c，原点到经2222:10xyEababO过两点的直线的距离为1 2c。求椭圆的离心率；如图，是圆： ,0 , 0,cbEABM225212xy的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程。E,A BE21 （本小题满分 12 分）设 nfx是等比数列的各项和，其中0x ，21, ,nx xxL，2n 。证明：函数在nN 2nnFxfx内有且仅有一个零点（记为nx） ，且1 2,1111 22n nnxx；设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ngx，比较 nfx与 ngx的大
8、小，并加以证明。 请在 22、23、24 三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分。作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的 题号后的方框涂黑。22 （本小题满分 10 分）如图，切于点，直线交于两点，ABOeBADOe,D E，垂足为。BCDEC证明：；若，求的直径。CBDDBA 3ADDC2BC Oe（分钟）T25303540 频数（次）20304010图 2A1(A)OEDCB 图 1OEDCBA2015 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷4 / 723 （本小题满分 10 分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为xOy（t为参数） 。以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立
9、极坐标系，的极坐32 3 2txyt Ce标方程为2 3sin。写出的直角坐标方程；为直线l上一动点，当到圆CePP心的距离最小时，求的直角坐标。CP24 （本小题满分 10 分）已知关于x的不等式xab的解集为24xx。求实数的值；求12atbt的最大值。, a b2015 年普通高校招生全国统考数学试卷（陕西卷）解答一ACCBD ABCBD DA二135；142 2；15；161.2。 1,117解：因，故，得/mnu rrsin3 cos0aBbA。又，从而sinsin3sincos0ABBAsin0B tan3A =，由于0A，所以；3A因，且7a ，2b ，2222cosabcbcA
10、，故，解得3c =（舍负） 。因此的面积为3A2230ccABC。13 3sin22SbcA18解：在图 1 中，因，是的中点，090BAD1ABBC2AD EAD故。即在图 2 中，1OA，从而平面1AOC。又BEACBEBEOCBE，故平面1AOC；/CDBECD由已知，平面1ABE 平面，又由知，1OA，故1OA平面BCDEBE，所以1OA。如图，以为原点，分别以为轴建立空BCDEOCO1,OB OC OAuuu r uuu r uuu r, ,x y zzyxA1(A)OEBDC2015 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷5 / 7间直角坐标系，则，所以120,0,2A 2,0,0
11、2B 20,02C 2,0,02E， 。设平面22,022BC uuu r1220,22ACuuu r2,0,0CDBE uuu ruuu r的法向量为，则11100n BCnACu r uuu ru r uuu r，得111100xyyz ，取可得1ABC1111,nx y zu r11x 。设平面的法向量为，则22100nCDnACu u r uuu ru u r uuu r，得11,1,1n u r1ACD2222,nxyzu u r，取可得。设平面与平面夹角为，则22200xyz 21y 20,1,1n u u r1ABC1ACD12cos|cos,|n nu r u u r，即平面与
12、平面夹角的余弦值为6 3。121226|3|32n n nnu r u u r u ru u r1ABC1ACD19解：由统计结果可得的频率分布，并以频率T 估计概率得的分布列如右表所示，从而T 25 0.230 0.335 0.440 0.132ET （分钟） ；设12,T T分别表示往、返所需时间，12,T T的取值相互独立，且与的分布列相同。T设表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ，因讲座时间为 50 分钟，故事件对应于AA “刘教授在途中的时间不超过 70 分钟” 。则 12127025,45P AP TTP TT12121230,4035,3540,301 0.2 1 0.30.9 0.4P TTP TTP TT 。0.5 0.10.9120解：过点的直线方程为，则原点到该直线的距 ,0 , 0,cb0bxcybcO离 22bcbcdabc ，由1 2dc=，得，解得离心率3 2c a=；2222abac由知，椭圆的方程为22244xyb+=。依题意，圆心是线段的中E2,1M AB点，且。易知，不与轴垂直，设其直线方程为，由|10AB ABx21yk xT25303540 P0.20.30.40.12015 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷6 / 72222144yk xxyb
