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1、2015 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 1 - / 62015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）2 1i i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A） （B） （C） （D）cosyxsinyxlnyx21yx（3）设：，：，则是成立的（ ）p12xq21xpq（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必
2、要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） y2yx （A） （B） （C） （D）2 214yx 2 214xy2 214yx2 214xy （5）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） ,m n, （A）若垂直于同一平面，则与平行 （B）若平行于同一平面，则与平, ,m nmn行（C）若不平行，则在内不存在与平行的直线, （D）若不平行，则与不可能垂直于同一平面,m nmn（6）若样本数据的标准差为 8，则数据1210,x xxL的标准差为（ ） （A）8 121021,21,21xxxL（B）15 （C）16 （D）32
3、 （7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B）1323（C） （D）12 22 2（8）是边长为 2 的等边三角形，已知向量满ABC, a br r足，则下列结论正确的是（ ）2ABauuu rr2ACabuuu rrr2015 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 2 - / 6（A） （B） （C） （D）| 1b rabrr1a br r4abBCrruuu r（9）函数的图象如图所示，则下列结论成 2axbf x xc 立的是（ ）（A）， （B），0a 0b 0c 0a 0b 0c （C）， （D），0a 0b 0c 0a 0b 0c （10）已知函
4、数（均为正的 sinf xx A, ,A 常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小23x f x值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） 220fff（C） （D） 022fff 202fff 202fff二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 把答案填在答题卡的相应位置。（11）的展开式中的系数是 （用数7 31xx3x字填写答案） 。（12）在极坐标系中，圆上的点到直线8sin距离的最大值是_。3R（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 为_。a（14）已知数列是递增的等比数列， na249aa，则数列的前项和等于_。238a a nan（15）设
5、，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实30xaxb, a b根的是_（写出所有正确命题的编号） 。；3,3ab 3,2ab ；。3,2ab 0,2ab1,2ab三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答写在答题卡上的指定区域内。（16） （本小题满分 12 分）在中，在中，ABCABC4A6AB ，点在边上，求的长。3 2AC DBCADBDAD2015 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 3 - / 6（17） （本小题满分 12 分）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现 需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测
6、后不放回，直到 检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果。求第一次检测出的 是次品且第二次检测出的是正品的概率；已知每检测一件产品需要费 用 100 元，设表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需X 要的检测费用（单位：元） ，求的分布列和均值（数学期望） 。X（18） （本小题满分 12 分）设，是曲线在nNnx231nyx点处的切线与轴交点的横坐标。求数列的通项公式；记，1,2x nx222 1221nnTx xxL证明：。1 4nTn（19） （本小题满分 13 分）如图所示，在多面体中，四边形，111AB D DCBA11AAB B，ABCD均为正方形，为的中点
7、，过的平面交于。证明：11ADD AE11B D1,A D E1CDF；求二面角余弦值。11/ /EFBC11EADB（20） （本小题满分 13 分）椭圆的方程为，点为坐标原点，E222210xyababO点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直A0a，B0 b，MAB| 2|BMMA线的斜率为。求的离心率；设点的坐标为，为线段的OM5 10EeC0b，NAC中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程。NAB7 2E（21） （本小题满分 13 分）设函数。讨论函数在内的 2f xxaxbsinfx单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；记，求函数 2 000fxxa xb在上的最大值
8、；在中，取，求0sinsinfxfx2,2D000ab满足时的最大值。2 4azb1D 2015 年普通高校招生全国统考数学试卷安徽卷解答一BAACD CBDCA二1135；126；133；4；1521n16解：设的内角, ,A B C所对边的长分别是, ,a b c，由余弦定理得ABC2015 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 4 - / 6，故。又由正2222232cos3 262 3 2 6 cos904abcbcBAC 3 10a 弦定理可得。又，故。所sin10sin10bBACBa04B23 10cos1 sin10BB以在中由正弦定理可得。 ABDsin6sin10sin2
9、2sincosABBBADBBB17解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则A； 11 23 2 53 10A AP AA的可能取值为，X200,300,4002 2 2 5120010AP XA3 3 3 5300AP XA，112 232 3 53 10C C A A6400120030010P XP XP X 。故的分布列如右表，且X。136200300400350101010EX 18解：由题，故曲线2122nynx 在点处的切线斜率为，从而切线221nyx1,222n方程为。令，得切线与轴交2221ynx0y x点的横坐标；1nnxn由知，222 222 132
10、11321 242nnnTx xxn LL故。当时，因为11 4T 2n ，所以。综上得证。 22 2 212211211 22nnnnxnnn211 211 22 34nnTnnL19解：由正方形的性质可知，且，所以四边形11/ABABDC11ABABDC是平行四边形，从而。又平面，平面，于是11ABCD11/BCAD1AD 1ADE1BC 1ADE平面。又平面，平面平面，所以；1/BC1ADE1BC 11BCD1ADE I11BCDEF1/EFBCX200300400P1 103 106 10FEzyxD1B1A1DCBA2015 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 5 - / 6因四
11、边形均为正方形，故，1111,AAB B ADD A ABCD11,AAAB AAAD ABAD且。以为原点，分别以为轴单位正向量建立如图所示1AAABADA1,AB AD AAuuu r uuu r uuu r, ,x y z的空间直角坐标系。可得点的坐标，0,0,0A，。因为为的中点，所以1,0,0B0,1,0D10,0,1A11,0,1B10,1,1DE11B D。设为平面的法向量，则。因1 1,12 2E1111,nx y zu r1ADE111100nAEnADu r uuu ru r uuu u r，故。取得。设11 1,02 2AEuuu r10,1, 1AD uuu u r11
12、1100xyyz 11z 11,1,1n u r为平面的法向量，则。因，2222,nxyzu u r11AB D2112100nABnADu u r uuuu ru u r uuu u r111,0,0AB uuuu r，故。取得。结合图形知二面角10,1, 1AD uuu u r22200xyz 21z 20,1,1n u u r余弦值为。11EADB1111|26 3| |32n n nnu r u r u ru r20解：由题知，又，故，即，23,3Mab5 10OMk25 10ba 5ab故，；222cabb2 5 5ec a由可知：，。设点关于直线的对称点为AB15xy bb5,22bbNNAB，则线段的中点。因在直线上，且，17,2S xNS157,4244xbTbTAB1NSABkk 故，解得。所以，从而：。115755424755222xbbbbbx3b 3 5a E22 1459xy21证明：由题，故2sinsinsin22fxxaxbxsinfx。因，故，。当时，2sincosxax22xcos0x 22sin2x 2a 单调递增，无极值；当时，单调递减，无极值；当sinfx2a sinfx2015 年高考真题理科数学（解析版）
