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1、2015 年高考真题理科数学(解析版) 安徽卷- 1 - / 62015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。(1)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )2 1i i (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )(A) (B) (C) (D)cosyxsinyxlnyx21yx(3)设:,:,则是成立的( )p12xq21xpq(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必
2、要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( ) y2yx (A) (B) (C) (D)2 214yx 2 214xy2 214yx2 214xy (5)已知是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) ,m n, (A)若垂直于同一平面,则与平行 (B)若平行于同一平面,则与平, ,m nmn行(C)若不平行,则在内不存在与平行的直线, (D)若不平行,则与不可能垂直于同一平面,m nmn(6)若样本数据的标准差为 8,则数据1210,x xxL的标准差为( ) (A)8 121021,21,21xxxL(B)15 (C)16 (D)32
3、 (7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) (A) (B)1323(C) (D)12 22 2(8)是边长为 2 的等边三角形,已知向量满ABC, a br r足,则下列结论正确的是( )2ABauuu rr2ACabuuu rrr2015 年高考真题理科数学(解析版) 安徽卷- 2 - / 6(A) (B) (C) (D)| 1b rabrr1a br r4abBCrruuu r(9)函数的图象如图所示,则下列结论成 2axbf x xc 立的是( )(A), (B),0a 0b 0c 0a 0b 0c (C), (D),0a 0b 0c 0a 0b 0c (10)已知函
4、数(均为正的 sinf xx A, ,A 常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小23x f x值,则下列结论正确的是( ) (A) (B) 220fff(C) (D) 022fff 202fff 202fff二填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 把答案填在答题卡的相应位置。(11)的展开式中的系数是 (用数7 31xx3x字填写答案) 。(12)在极坐标系中,圆上的点到直线8sin距离的最大值是_。3R(13)执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 为_。a(14)已知数列是递增的等比数列, na249aa,则数列的前项和等于_。238a a nan(15)设
5、,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实30xaxb, a b根的是_(写出所有正确命题的编号) 。;3,3ab 3,2ab ;。3,2ab 0,2ab1,2ab三解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答写在答题卡上的指定区域内。(16) (本小题满分 12 分)在中,在中,ABCABC4A6AB ,点在边上,求的长。3 2AC DBCADBDAD2015 年高考真题理科数学(解析版) 安徽卷- 3 - / 6(17) (本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品放在一起,现 需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测
6、后不放回,直到 检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果。求第一次检测出的 是次品且第二次检测出的是正品的概率;已知每检测一件产品需要费 用 100 元,设表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需X 要的检测费用(单位:元) ,求的分布列和均值(数学期望) 。X(18) (本小题满分 12 分)设,是曲线在nNnx231nyx点处的切线与轴交点的横坐标。求数列的通项公式;记,1,2x nx222 1221nnTx xxL证明:。1 4nTn(19) (本小题满分 13 分)如图所示,在多面体中,四边形,111AB D DCBA11AAB B,ABCD均为正方形,为的中点
7、,过的平面交于。证明:11ADD AE11B D1,A D E1CDF;求二面角余弦值。11/ /EFBC11EADB(20) (本小题满分 13 分)椭圆的方程为,点为坐标原点,E222210xyababO点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直A0a,B0 b,MAB| 2|BMMA线的斜率为。求的离心率;设点的坐标为,为线段的OM5 10EeC0b,NAC中点,点关于直线的对称点的纵坐标为,求的方程。NAB7 2E(21) (本小题满分 13 分)设函数。讨论函数在内的 2f xxaxbsinfx单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;记,求函数 2 000fxxa xb在上的最大值
8、;在中,取,求0sinsinfxfx2,2D000ab满足时的最大值。2 4azb1D 2015 年普通高校招生全国统考数学试卷安徽卷解答一BAACD CBDCA二1135;126;133;4;1521n16解:设的内角, ,A B C所对边的长分别是, ,a b c,由余弦定理得ABC2015 年高考真题理科数学(解析版) 安徽卷- 4 - / 6,故。又由正2222232cos3 262 3 2 6 cos904abcbcBAC 3 10a 弦定理可得。又,故。所sin10sin10bBACBa04B23 10cos1 sin10BB以在中由正弦定理可得。 ABDsin6sin10sin2
9、2sincosABBBADBBB17解:记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件,则A; 11 23 2 53 10A AP AA的可能取值为,X200,300,4002 2 2 5120010AP XA3 3 3 5300AP XA,112 232 3 53 10C C A A6400120030010P XP XP X 。故的分布列如右表,且X。136200300400350101010EX 18解:由题,故曲线2122nynx 在点处的切线斜率为,从而切线221nyx1,222n方程为。令,得切线与轴交2221ynx0y x点的横坐标;1nnxn由知,222 222 132
10、11321 242nnnTx xxn LL故。当时,因为11 4T 2n ,所以。综上得证。 22 2 212211211 22nnnnxnnn211 211 22 34nnTnnL19解:由正方形的性质可知,且,所以四边形11/ABABDC11ABABDC是平行四边形,从而。又平面,平面,于是11ABCD11/BCAD1AD 1ADE1BC 1ADE平面。又平面,平面平面,所以;1/BC1ADE1BC 11BCD1ADE I11BCDEF1/EFBCX200300400P1 103 106 10FEzyxD1B1A1DCBA2015 年高考真题理科数学(解析版) 安徽卷- 5 - / 6因四
11、边形均为正方形,故,1111,AAB B ADD A ABCD11,AAAB AAAD ABAD且。以为原点,分别以为轴单位正向量建立如图所示1AAABADA1,AB AD AAuuu r uuu r uuu r, ,x y z的空间直角坐标系。可得点的坐标,0,0,0A,。因为为的中点,所以1,0,0B0,1,0D10,0,1A11,0,1B10,1,1DE11B D。设为平面的法向量,则。因1 1,12 2E1111,nx y zu r1ADE111100nAEnADu r uuu ru r uuu u r,故。取得。设11 1,02 2AEuuu r10,1, 1AD uuu u r11
12、1100xyyz 11z 11,1,1n u r为平面的法向量,则。因,2222,nxyzu u r11AB D2112100nABnADu u r uuuu ru u r uuu u r111,0,0AB uuuu r,故。取得。结合图形知二面角10,1, 1AD uuu u r22200xyz 21z 20,1,1n u u r余弦值为。11EADB1111|26 3| |32n n nnu r u r u ru r20解:由题知,又,故,即,23,3Mab5 10OMk25 10ba 5ab故,;222cabb2 5 5ec a由可知:,。设点关于直线的对称点为AB15xy bb5,22bbNNAB,则线段的中点。因在直线上,且,17,2S xNS157,4244xbTbTAB1NSABkk 故,解得。所以,从而:。115755424755222xbbbbbx3b 3 5a E22 1459xy21证明:由题,故2sinsinsin22fxxaxbxsinfx。因,故,。当时,2sincosxax22xcos0x 22sin2x 2a 单调递增,无极值;当时,单调递减,无极值;当sinfx2a sinfx2015 年高考真题理科数学(解析版)