微分中值定理及其在不等式的应用

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1、安 阳 师 范 学 院安阳师范学院本科学生毕业论文安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用作作 者者张在张在系（院）系（院）数学与统计学院数学与统计学院专专 业业数学与应用数学数学与应用数学年年 级级2008 级级学学 号号06081090指导老师指导老师姚合军姚合军论文成绩论文成绩日日 期期2010 年年 6 月月安 阳 师 范 学 院学生诚信承诺书学生诚信承诺书本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发 表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其

2、他教育机构的学位或证书所 需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。签名： 日期： 论文使用授权说明论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名： 导师签名： 日期 安 阳 师 范 学 院第第 1 1页页微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用张庆娜（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳 455002）摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格

3、朗日中值定 理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等 方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.关键词：连续；可导；微分中值定理；应用1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究 中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日 定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物 弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在不可分量几何学(1635 年) 的卷一中给出处理平面 和立体图形切线的有趣引理,其中引理 3 基

4、于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段 上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定 理.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马 (Fermat) 在求最大值和最小值的方法中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为 费马定理.1691 年,法国数学家罗尔(Rolle) 在方程的解法一文中给出多项式形式的罗 尔定理.1797 年,法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理,并给出 最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格 化运动的推动者,他的三部巨著分析教

5、程 、 无穷小计算教程概论 (1823 年)、 微分计 算教程(1829 年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理 以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在无穷小计算教程概论中,柯西首先严格地证 明了拉格朗日定理,又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理.从而发 现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中 值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且 无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研 究,中值定理都占有举足轻重的

6、作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性 质、定理. 定理定理 2.11(有界性定理有界性定理) 若函数在闭区间上连续,则在上有界.即( )f x , a b( )f x , a b常数 ,使得有.0M x , a b|( )|f xM定理定理 2.2（最大、最小值定理）（最大、最小值定理） 若函数 在闭区间上连续,则在( )f x , a b( )f x 上有最大值与最小值. , a b定理定理 2.3（介值性定理）（介值性定理） 设函数在闭区间上连续,且.若为介( )f x , a b( )

7、( )f af b于与之间的任意实数(或),则至少存在一点( )f a( )f b( )( )f af b( )( )f bf a安 阳 师 范 学 院第第 2 2页页使得0( , )xa b.0()f x定理定理 2.4（根的存在定理）（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续,且与异号( )f x , a b( )f a( )f b（即）.则至少存在一点使( ) ( )0f a f b 0( , )xa b ,0()0f x即方程在开区间内至少有一个根.( )0f x ( , )a b定理定理 2.5（一致连续性定理）（一致连续性定理） 若函数在闭区间上连续,则在闭区间( )f x , a b

8、( )f x 上一致连续. , a b定理定理 2.6 设区间的右端点为；区间的左端点也为（其中,可分1I1, c cI2I2, c cI1I2I别为有限或无限区间）.若分别在和上一致连续,则在上也一致连续.( )f x1I2I( )f x12IIU定理定理 2.7（比较原则）（比较原则） 设和是两个正项级数,如果存在某正数,对一切nunvN都有nN ,nnuv则 （1）若级数收敛,则级数也收敛；nvnu（2）若级数发散,则级数也发散.nunv 定理定理 2.8 绝对收敛的级数一定收敛. 3 相关的几个重要定理 定理定理 3.1（费马定理）（费马定理） 设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导,

9、若点( )f x0x0x 为的极值点,则必有0x( )f x.0()0fx定理定理 3.2（罗尔中值定理）（罗尔中值定理） 若函数满足如下条件：( )f x（1）在闭区间上连续；( )f x , a b（2）在开区间内可导；( )f x( , )a b（3）,( )( )f af b则在开区间内至少存在一点,使得( , )a b .( )0f定理定理 3.3（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理） 若函数满足如下条件：( )f x（1）在闭区间上连续；( )f x , a b（2）在开区间内可导；( )f x( , )a b则在开区间内至少存在一点,使得( , )a b.( )( )( )f

10、bf afba 定理定理 3.4（柯西中值定理）（柯西中值定理） 若函数,满足如下条件：( )f x( )g x（1）在闭区间上连续； , a b（2）在开区间内可导；( , )a b（3）,不同时为零； ( )fx( )g x（4）；( )( )g ag b安 阳 师 范 学 院第第 3 3页页则在开区间内存在一点,使得, a b.( )( )( ) ( )( )( )ff bf a gg bg a 注注 上面各定理的条件是充分的,但不是必要的. 4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式 在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还 有,就是我们在证明一

11、些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明 题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论. 例例 4.1.15是定义在实数集上的函数,若对任意,有( )f xR, x yR ,其中是常数,则是常值函数.2( )( )()f xf yM xyM( )f x证明证明 对任意,的改变量为,由条件有,即xRxx2()( )()f xxf xMx,()( )f xxf xM xx 两边关于取极限得0x 00()( )0limlim0 xxf xxf xM xx 所以.( )0fx由中值定理,即,( )(0)( )0f xffx( )(0)f xf故在上是常值函数.

12、R( )f x思路总结思路总结 要想证明一个函数在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函( )f x数在同一区间上恒为零即可.( )fx例例 4.1.22 设,证明：存在,使得.( )f x 1121 1232 1343xx xx xx (0,1)( )0f证明证明 由于在上连续,在内可导, ( )f x0,1(0,1)111 (0)1220 133f 101 (1)11 1 121f .符合罗尔中值定理的条件,故存在,使0(0,1)( )0f例例 4.1.3 若在上有三阶导数,且,设,试证在( )f x0,1(0)(1)ff03( )( )F xx f x 内至少存在一个,使.(0,1)(

13、 )0F证明证明 由题设可知,在上存在,又,由罗尔中值( )F x( )F x( )Fx( )Fx0,1(0)(1)FF定理,使1(0,1) ,1( )0F又可知在上满足罗尔中值定理,于是23 0(0)3( )( )|0xFx f xx fx( )F x10, ,使得21(0,) ,2()0F又对存在,使 23 0(0)6( )6( )( )|0xFxf xx fxx fx( )Fx21(0,)(0,)(0,1) .( )0F安 阳 师 范 学 院第第 4 4页页例例 4.1.44（达布定理的推论）（达布定理的推论） 若函数在内有有限导数,且 ,( )f x , a b( )( )0fa fb

14、则至少存在,使得.( , )ca b( )0fc证明证明 ,不妨设,( )( )0fa fb( )0fa( )0fb因为由极限的局部保号性可知,当( )lim ( )( )/()0 xafaf xf axa 10时, 1( ,)xa a ,即.( )( )0f xf a( )( )f xf a同样,当时,202(, )xbb ,即.( )( )0f xf b( )( )f xf b取,于是在,中,分别有12min ,2ba ( ,)a a(, )bb( )( )f xf a 和 .( )( )f xf b故,均不是在中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为 由( )f a( )f b( )f x , a bc 费马定理可知, .( )0fc小结小结 证明导函数方程的根的存在性的证明方法有如下几种：( )( )0nfx 验证函数在上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明.( )f x , a b( )0f在大多数情况下,要构造辅助函数,验证在上满足罗尔中值定理的三个条( )F x , a b件,证明,进而达到证明问题的目的.( )0F验证为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的.x例例 4.1.5 设在上连续,在内可导,试证：使( )f x , a b( , )a b0ab,( , )a b .( )( )2abff证明证明 由于,0ab2( ), ( )