《数论的方法和技巧 05整数的p进位制及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数论的方法和技巧 05整数的p进位制及其应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 整数的整数的 p 进进位制及其位制及其应应用用基基础础知知识识给定一个 m 位的正整数 A，其各位上的数字分别记为，则此021,aaammL数可以简记为：（其中） 。021aaaAmmL01ma由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此 A 可以表示成 10 的次多1m项式，即，其中012 21 1101010aaaaAm mm m L且，像这种 10 的多项式表示的数常常简1, 2 , 1,9 , 2 , 1 , 0miaiLL01ma记为。在我们的日常生活中，通常将下标 10 省略不写，并10021)(aaaAmmL且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明021aaaAmmL
2、记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。为了具备一般性，我们给出正整数 A 的 p 进制表示：，其中且012 21 1apapapaAm mm m L1, 2 , 1,1, 2 , 1 , 0mipaiLL。而仍然为十进制数字，简记为。01mampmmaaaA)(021L典例分析典例分析例例 1(2007 年中国数学奥林匹克协作体竞赛试题)假定正整数 N 的 8 进制表示为，那么下面四个判断中，正确的是（ ）8)43211234567765(NA、N 能被 7 整除而不能被 9 整除 B、N 能被 9 整除而不能被 7 整除C、N 不能被 7 整除也不能被 9 整除 D、N 既能被 7 整除也
3、能被 9 整除 答答 D由于，所以)7(mod18 )7(mod18 i kikiii ikkaaaaaaN008011)7(mod8L即 N 能被 7 整除N 的 8 进制表示下各位数字之和能被 7 整除。 类似的，N 能被 9 整除N 的 8 进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和 的差能被 9 整除例例 2 一个正整数，如果用 7 进制表示为，如果用 5 进制表示为，请用 10 进abccba制表示这个数. 解：解：由题意知：0a,c4,0b4,设这个正整数为 n,则na72b7c, n=c52b5aabccba49a7bc25c5ba48a2b24c0， b12(c2a) 12b,
4、又0b4 b0, c2a当 a1,c2 时，n51当 a2,c4 时，n102例例 3 （第 4 届美国数学邀请赛试题） 递增数列 1,3，4,9，10,12,13，是由一些正整数组成，它们或是 3 的幂， 或是若个不同的 3 的幂之和，求该数列的第 100 项。 解：解：将已知数列写成 3 的方幂形式：L,333,33,33,3,33,3,3012 712 602 52 401 31 20 1aaaaaaa易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：即L,2227 , 226 ,225 ,24 ,223 ,22 ,2101220220110由于 100256 2222)1100100(所
5、以原数列的第 100 项为。981333256例例 4 （1987 年加拿大数学竞赛试题）1987 可以在 b 进制中写成三位数，如果，试确定xyz7891zyx所有可能的和。 zyx, ,b解：解：易知，从而，25,19872zyxxb162) 1() 1(2bybx即，109321962) 1)(1(2yxbb由知。由知故；10b91b119622 b451963 b4519 b又因为有 12 个正约数，分别为10932196221,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以，从而。181b19b又由知1119919519872.11, 9, 5zyx例例
6、 5 （第 3 届加拿大数学竞赛试题）设是五位数（第一个数码不是零） ，是由取消它的中间一个数码后所nmn成的四位数，试确定一切使得是整数。 nmn解：设，其中vuzyxxyzuvn10101010234且；9 , 2 , 1 , 0,Lvuzyx1xvuyxxyuvm10101023而是整数，可证，即mnk nm 9)101010( 923vuyxvuzyx10101010234即，这显然是成立的；zyxvu223101010880又可证，即mn11vuzyx10101010234)101010(1123vuyx即，这显然也是正确的。vuyxz10101010102232于是，即，又因为是整
7、数，从而；mnm119119 kk10k于是，即mn10vuzyx10101010234)101010(1023vuyx即，而但 3 102知为正整数）)10(9990102vvuzz210|9ttz(9从而，显然，因而推得其中vut101020vut31000Nxyzn。9910 N例例 6. (1999 年，保加利亚数学奥林匹克试题) 求所有的自然数 n 的个救，4n 1023使得 n 在二进制表示下，没有连续的三个数码相同例例 7. （l995 年南斯拉夫数学奥林匹克试题） 设 n 是正整数，n 的二进制表示中恰有 1995 个 l，求证：2n-1995整除 n!例例 8. (1982
8、年英国数学奥林匹克试题)设自然数 n 为 17 的倍数，且在二进制写法中恰有三个数码为 1.证明 n 的二进制写法中至少有六个数码为 0，且若恰有 7 个数码为 0，则 n 是偶数。例例 9. （第 12 届 IM O 试题） 设 a，b，n 均大于 1在 a 进制中，.,010211xxxAxxxAnnnnnnLL在 b 进制中，.,010211xxxBxxxBnnnnnnLL其中 . 0, 01 nnxx证明：当且仅当 ab 时， nnnn BB AA11例例 10已知利用的砝码可以使重量是连续自然数的 63 个重物平衡，求这组砝 码例例 11.（2005 年中国奥林匹克协作体夏令营试题）
9、如果一个正整数年中国奥林匹克协作体夏令营试题）如果一个正整数在三进制下在三进制下n 表示的各数字之和可以被表示的各数字之和可以被 3 整除，那么我们称整除，那么我们称为为“好的好的”，则前，则前 2005 个个“好的好的”n 正整数之和是多少？正整数之和是多少？解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理：引理引理 1.在在 3 个个连续连续非非负负整数整数（ （是非是非负负整数）中，有且整数）中，有且仅仅有有 1 个是个是23 , 13 ,3nnnn“好的好的”。 。 证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2 各在最后一位出现一次，其 作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连
10、续的正整数，其中有且仅 有一个能被 3 整除（即“好的”） ，引理 1 得证。引理 2.在 9 个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有 3 个89, 19 ,9nnnLn是“好的”。把这 3 个“好的”非负整数化成三进制，0,1，2 恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。证明：由引理 1 不难得知在 9 个连续非负整数（是非负整数）89, 19 ,9nnnLn中，有且仅有 3 个是“好的”。 另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完 全相同，倒数第二位分别取 0,1，2。若它使它们成为“好的”非负整数，则最后 一位不相同，引理 2 得证。 将所有“好的”非负
11、整数按从小到大的顺序排成一列，设第 2004 个“好的”非负整 数为，根据引理 1，得，即。m3200432003m60126009 m设前个“好的”正整数之和为，由于前 2003 个“好的”正整数之和等于前mmS2004 个“好的”非负整数之和。因此；602302220043)2003210(2003LS又因为和都是“好的”正整数。因此310)22020201()6013(310)22020210()6015(前 2005 年“好的”正整数之和是：。60350506015601320032005 SS例例 12. 把所有 3 的方幂及互不相等的 3 的方幂的和排列成一个递增数列： 10,12
12、，13， 求这个数列的第 100 项例例 13. （第 12 届 IM O 试题）设 a，b，n 均大于 1在 a 进制中，.,010211xxxAxxxAnnnnnnLL在 b 进制中，.,010211xxxBxxxBnnnnnnLL其中 . 0, 01 nnxx证明：当且仅当 ab 时， nnnn BB AA11课外练习题课外练习题1.（2005 年全国高中数学联赛试题）记集合，将 M 中的6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0T 4 , 3 , 2 , 1,777744 33 221iTaaaaaMi元素按从大到小顺序排列，则第 2005 个数是A. B. 43273 76
13、75 7543272 76 75 75C. D. 43274 70 71 7143273 70 71 712. 证明：对任何进制数是完全平方数kkzk, 6,k)123454321(3. 设 V，W，X，Y，Z 为 5 个五进制数码五进制下的三个三位(VYZ)5，(VYX)5， （VVW）5以公差为 1 依次递增问在十进制中,三位数(XYZ)5等于 多少？4. 设其中是互不相等的非负整数，求,222199721naaaLnaaa,21L的值naaaL215. 设 1987 可以写在 b 进制三位数且试确定所有,)(bxyz1zyx, 789可能的 x,y,z 及 b 值6. 求使能被 7 整除
14、的所有正整数 n12 n7. 若二进制数满足则称 n2011)(aaaanmmL2011)(aaaammL,)(2110mmaaaaL为“二进制回文数”，问在不超过 1988 的正整数中有多少个“二进制回文数”？8. 对每个正整数令 为 n 在 k 进制中的数字和，求证：对于小于,nk)(nsk20000 的素数 p，中至多有两个值为合数)(31Ps9. 设是正整数，定义数列和如下：00,baL,210aaaL,210bbb若 p 是使得的数，求证：对所有使得., 2 , 1 , 0,2,211Lkbbaakkk k1Paja是奇数的的和等于jb00ba10. 设集合, 2 , 1,8 , 2 , 1 , 0|99994433221iaaaaaAiL),4 , 3把 A 中各数按照从大到小的顺序排列，求第 1997 个数m 为正整数，定义 f(m)为 m! 中因数 2 的个数（即满足 2k|m!的最大整数 k） 。证 明有无穷多个正整数 m，满足 m-f(m)=1989
