匀速圆周运动专题

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1、匀速圆周运动专题从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在 高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动 及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式（1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；Tr tsv2（2）角速度，恒定不变量；Tt2（3）周期与频率；fT1（4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，22 mrrmvF22 rrva方向与向心力相同； （5）线速度与角速度的关系为，、的关系为rvvTf。所以在、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而rfr

2、Trv22Tf还和有关。vr 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与 速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明 向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只 要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力 就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外 力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变， 所以向心力不一定是物体所受的合外力。（二）解决圆

3、周运动问题的步骤 1. 确定研究对象； 2. 确定圆心、半径、向心加速度方向； 3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向； 4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。 基本规律：径向合外力提供向心力向合FF（三）常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题 例 1：如图 1 所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为 r，a 是它边缘上的一点，左侧 是一轮轴，大轮的半径为 4r，小轮的半径为 2r，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 r，c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ） A. a 点与 b 点的线速度大小相等B. a 点与 b 点的角速

4、度大小相等 C. a 点与 c 点的线速度大小相等 D. a 点与 d 点的向心加速度大小相等4r dc 2rbrar图 1 解析：解析：皮带不打滑，故 a、c 两点线速度相等，选 C；c 点、b 点在同一轮轴上角速度 相等，半径不同，由，b 点与 c 点线速度不相等，故 a 与 b 线速度不等，A 错；同rv 样可判定 a 与 c 角速度不同，即 a 与 b 角速度不同，B 错；设 a 点的线速度为，则 a 点向v心加速度，由，所以，故，D 正rvaa2 rvc2rvd4acdvvv22daaa 确。本题正确答案 C、D。 点评：点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各

5、点的线速度大 小相等，同一轮上各点的角速度相同。 2. 水平面内的圆周运动 转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情 况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。 例 1：如图 2 所示，水平转盘上放有质量为 m 的物体，当物块到转轴的距离为 r 时， 连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正 压力的倍。求：（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。rg 21 1TF（2）当转盘的角速度时，细绳的拉力。rg 2322TFrO图 2 解析：解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则0，解得rmmg

6、2 0rg0（1）因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物012rg与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为 0，即。01TF（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，0223rg则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得，解得2TFrmmgFT2 22。22mgFT点评：点评：当转盘转动角速度时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做0圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。可见，是rg00物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和 r。这0一结论同样适用于汽车在平路上转弯。 圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平

7、面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体 所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分 力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。 例 2：小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图 3 中的 （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度 v、周期 T 的关系。（小球的半径 远小于 R）。FNGF图 3 解析：解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向 心力 F 是重力 G 和支持力的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图 3 所NF示有2224sinsintanTmRRmvmg由此可得

8、，sintangRv gRTcos2可见，越大（即轨迹所在平面越高），v 越大，T 越小。 点评：点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行 等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力 方向水平。 3. 竖直面内的圆周运动 竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类（图 4）。GF绳FG图 4 这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向 下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力

9、的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有，即mgRmvmgF2，否则不能通过最高点；gRv （2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，mgRmvFmg2，否则车将离开桥面，做平抛运动；gRv （3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小 v 可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当时物体受到的弹力必然是向下gRv 的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为gRv gRv 零。b. 当弹力大小时，向心力有两解；当弹力大小时，向心力mgF Fmg mgF 只有一解；当弹力时，向心力等于零，这

10、也是物体恰能过最高点的临界mgF mgF 条件。 结合牛顿定律的题型 例 3：如图 5 所示，杆长为 ，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴 O 自由转动，lm已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。mgF21图 5解析：解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可mgmgF21能向下。（1）若 F 向上，则，；lmvFmg2 2glv （2）若 F 向下，则，lmvFmg2 23glv 点评：点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时 速度。 需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动 过程中

11、小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。 结合能量的题型 例 4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 R（比细管的半径大 得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 A、B，质量分别为、，沿环1m2m形管顺时针运动，经过最低点的速度都是，当 A 球运动到最低点时，B 球恰好到最高点，0v若要此时作用于细管的合力为零，那么、R 和应满足的关系是 。1m2m0v解析：解析：由题意分别对 A、B 小球和圆环进行受力分析如图 6 所示。对于 A 球有RvmgmFN2 01 11对于 B 球有RvmgmFN2 2 22根据机械能守恒定律Rgmvmvm221 2122 22 02由环

12、的平衡条件012NNFF而，11NNFF22NNFF由以上各式解得0)()5(2 02121vmmgRmmBvFN2m2gFN1v0m1gAFN2FN1图 6 点评：点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析， 运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。 连接问题的题型 例 5：如图 7 所示，一根轻质细杆的两端分别固定着 A、B 两个质量均为 m 的小球， O 点是一光滑水平轴，已知，使细杆从水平位置由静止开始转动，当lAO lOB2 B 球转到 O 点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？OBA图 7解析：解析：对 A、B 两球组成的

13、系统应用机械能守恒定律得22 21 212BAmvmvmgllmg因 A、B 两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即lv lvBA 2设 B 球运动到最低点时细杆对小球的拉力为，由牛顿第二定律得TFlmvmgFB T22 解以上各式得，由牛顿第三定律知，B 球对细杆的拉力大小等于，mgFT8 . 1mg8 . 1方向竖直向下。 说明：说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的共同点。（四）难点问题选讲 1. 极值问题 例 6：如图 8 所示，用细绳一端系着的质量为的物体 A 静止在水平转盘上，kgM6 . 0细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为

14、的小球 B，A 的重心到 O 点kgm3 . 0的距离为。若 A 与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球 B 保持静止，求转m2 . 0NFf2盘绕中心 O 旋转的角速度的取值范围。（取）2/10smg OBA图 8 解析：解析：要使 B 静止，A 必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度。A 需要的 向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心 O；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O。 对于 B：mgFT对于 A：，2 1MrFFfT2 2MrFFfT联立解得，srad /5 . 61srad /9 . 22所以sradsrad/5

15、. 6/9 . 2 点评：点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运 动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判断物体受的某个力是否存在以 及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 2. 微元问题 例 7：如图 9 所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光 滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道，若列车全长为 （ll ），R 远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，R2 才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？ORv0图 9 解析：解析

16、：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的 速度最小。设运行过程中列车的最小速度为 v，列车质量为 m，则轨道上的那部分车的质量为lRm2由机械能守恒定律得gRlRmmvmv2 21 2122 0由圆周运动规律可知，列车的最小速率，联立解得gRv lgRgRv2043. 数理问题 例 8：如图 10，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B，相距，长的ml1 . 00ml1柔软细线一端拴在 A 上，另一端拴住一个质量为 500g 的小球，小球的初始位置在 AB 连 线上 A 的一侧，把细线拉直，给小球以 2m/s 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运 动，由于钉子 B 的存在，