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1、指数与指数幂的运算教学设计指数与指数幂的运算教学设计教学设计211 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳 14 的衰减问题前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激
2、发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标1通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的
3、能力2掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学自生活，数学又服务于生活的哲理3能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力4通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美重点难点教学重点(1)分数指数幂和根式概念的理解(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值教学难点(1)分数指数幂及根式概念的理解(2)有理指数幂性质的灵活应用时安排3 时教学过程第 1 时作
4、者：路致芳导入新思路 1同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的教师板书本节题：指数函数指数与指数幂的运算思路 2同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂研究的题：指数函数指数与指数幂的运算推进新新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如 x4a，xa，x6a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上
5、面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出 n 次方根的概念，评价学生的思维讨论结果：(1)若 x2a，则 x 叫做 a 的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4 的平方根为2，负数没有平方根，同理，若 x3a，则 x 叫做 a 的立方根，一个数的立方根只有一个，如：8 的立方根为2(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于 a，则这个数
6、叫 a 的四次方根一个数的五次方等于 a，则这个数叫 a 的五次方根一个数的六次方等于 a，则这个数叫 a 的六次方根(3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a，则这个数叫 a 的 n 次方根(4)用一个式子表达是，若 xna，则 x 叫 a 的 n 次方根教师板书 n 次方根的意义：一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th rt)，其中n1 且 nN*可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例提出问题(1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗？(多媒体显示以下题目)4 的平方根；8 的立方根；16 的 4 次方根；32 的次方根；
7、32 的次方根；0 的 7 次方根；a6 的立方根(2)平方根，立方根，4 次方根，次方根，7 次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，8，16，32，32，0，a6分别对应什么性质 的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数 a 有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣 n 次方根的概念，求一个数 a 的 n次方根，就是求出的那个数的 n 次方等于 a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出，观察数的 特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑
8、要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路讨论结果：(1)因为2 的平方等于 4，2 的立方等于8，2 的 4次方等于 16,2 的次方等于 32，2 的次方等于32,0 的 7 次方等于0，a2 的立方等于 a6，所 以 4 的平方根，8 的立方根，16 的 4 次方根，32 的次方根，32 的次方根，0 的 7 次方根，a6 的立方根分别是2，2，2,2，2,0，a2(2)方根的指数是 2,3,4,7特点是有奇数和偶数总的看，这些数包括正数，负数和零(3)一个数 a 的奇次方根只有一个，一个正数 a 的偶次方根有两个，是互为相反数 0 的任何次方根都是 0(
9、4)任何一个数 a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到 n 次方根的性质：当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，是互为相反数，正的 n 次方根用 na 表示，如果是负数，负的 n 次方根用na 表示，正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成na(a0)n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时 a 的 n 次方根用符号 na 表示负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是零上面的字语言可用下面的式子表示：a 为正数：n 为奇数， a 的 n
10、次方根有一个为 na，n 为偶数， a 的 n 次方根有两个为naa 为负数：n 为奇数， a 的 n 次方根只有一个为 na，n 为偶数， a 的 n 次方根不存在零的 n 次方根为零，记为 n00可以看出数的平方根、立方根的性质是 n 次方根的性质的特例思考根据 n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题解：答案不唯一，比如，64 的立方根是 4,1
11、6 的四次方根为2，27 的次方根为27，而27 的 4 次方根不存在等其中27也表示方根，它类似于 na 的形式，现在我们给式子 na 一个名称根式根式的概念：式子 na 叫做根式，其中 a 叫做被开方数，n 叫做根指数如 327 中，3 叫根指数，27 叫被开方数思考nan 表示 an 的 n 次方根，式子 nana 一定成立吗？如果不一定成立，那么 nan 等于什么？活动：教师让学生注意讨论 n 为奇偶数和 a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论教师点拨，注意归纳整理如 3(3)33273，4(8)4|8|8 解答：根据 n 次方根的意义，可得：(na)na通过探究得到：n 为奇数，n
12、anan 为偶数，nan|a|a，a，a0，a0因此我们得到 n 次方根的运算性质：(na)na 先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数n 为奇数，nana 先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数n 为偶数，nan|a|a，a，a0，a0 先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值应用示例思路 1例 求下列各式的值：(1)3(8)3；(2)(10)2；(3)4(3)4；(4)(ab)2(ab)活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问
13、题并对症下药求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数解：(1)3(8)38；(2)(10)210；(3)4(3)43；(4)(ab)2ab(ab)点评：不注意 n 的奇偶性对式子 nan 的值的影响 ，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用变式训练求出下列各式的值：(1)7(2)7；(2)3(3a3)3(a1)；(3)4(3a3)4解：(1)7(2)72，(2)3(3a3)3(a1)3a3，(3)4(3a3)4
14、 点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视 a 与 1 大小的讨论，造成错解思路 2例 1 下列各式中正确的是( )A4a4aB6(2)232a01D10(21)21活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查 n 次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答解析：(1)4a4a，考查 n 次方根的运算性质，当 n 为偶数时，应先写 nan|a|，故 A 项错(2)6(2)232，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为 6(2)232，故 B 项错(3
15、)a01 是有条的，即 a0，故项也错(4)D 项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故 D 项正确所以答案选 D答案：D点评：本题由于考查 n 次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心例 2 322322_活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路解析：因为 322122(2)2(12)221，322(2)2221(21)221，所以 32232222答案：22点评：不难看出 322 与 322 形式上有些特点，即是对称根式，是 A2B 形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式 思考上面的例 2 还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“”，一个是“”，去掉一层根号后，相加正好抵消同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整
