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1、20082008 年南菁高中数学竞赛训练讲义年南菁高中数学竞赛训练讲义一、选择题1、为互不相等的正数，则下列关系中可能成立的是（ ） , ,a b c222acbc、； 、 ； 、； 、；AabcBbcaCbacDacb2、设 ，又记则（ 1 1xf xx 11,1,2,kkfxf xfxffxkL 2007fx ） 、； 、 ； 、； 、；A1 1x x B1 1x x CxD1 x3、设为锐角，则的大小顺序为（ sincos,sincosxsincos,y2sincos sincosz , ,x y z） 、； 、 ； 、； 、AxyzBxzyCzxyD；zyx4、用红、黄、蓝、绿四种颜色
2、给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色（允许只用 其中几种） ，使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、.A24B36 C72 D845、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 6 :2、； 、； 、； 、 .A3B4C6D126、正整数集合的最小元素为 ，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差kA12007为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ） k1759AAU、 、； 、； 、.A119B120 C151 D154 二、填空题7、若实数满足：，则 ., x y1031031031031,125263
3、536xyxyxy8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 OFMMO MF9、计算 .0013 sin10cos1010、过直线 ：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则l9yxP123,0 ,3,0FF椭圆的方程为 .11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .kk12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 3m na2007aABCD三、解答题13、数列满足：；令 na111,211n n nnaaanna12,kkxaaaL；求 12111,1,2,k kykaaaLL 1nkk kx y15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成
4、一个三角形的三条边nabcd, , ,a b c d长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数n答案答案 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1、为互不相等的正数，则下列关系中可能成立的是（ ）, ,a b c222acbc、； 、 ； 、； 、；AabcBbcaCbacDacb答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由Cab22222acbcbc,A D，故与同号，排除；且当时，有222acc bcacbcBbac222acbc可能成立，例如取，故选 , ,3,5,1a b c C2、设 ，又记则 1 1xf xx 11,1,2,kkfxf xfxffxkL（ ） 2007
5、fx 、； 、 ； 、； 、；A1 1x x B1 1x x CxD1 x答案：；解：，B 1 12 1111,11fxfxfxxfx ，据此， 32 34 23111, 111ffxfxfxxfxf 414211,1nnxfxfxxx ，因为型，故选. 4341, 1nnxfxfxxx200743nB3、设为锐角，sincos,sincosx sincos,y2sincos sincosz 则的大小顺序为（ ）, ,x y z、； 、 ； 、； 、；AxyzBxzyCzxyDzyx答案：；解：， Asincossincos1sincossincosx y ，故.2sincos2sincoss
6、incossincossincos2 sincoszyxyz4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种） ， 使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ABCD）. 、； 、； 、； 、.A24B36 C72 D84答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；D2 4C22 4212C 选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共3 4C1 3C22计种；四色全用有种（因为固定位置） ，合计种.4 3 2 248 4!24, ,A B C D845、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则
7、6 :2其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 .A3B4C6D12答案：；解：设底面正方形边长为 ，棱锥的高为，侧面三角A1h形的高为 ，则 ，则l2AC 62 2h l，.3sin2hPMHl3PMH6、正整数集合的最小元素为 ，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个kA12007公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ） k1759AAU、 、； 、； 、.A119B120 C151 D154答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得CkAkA1kAn20071nk ，于是，2006nk172006111917A 59200613559A ；从而175910032006
8、1317 59AAA I175917591003119353151AAAAAU二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7、若实数满足：，则 ., x y1031031031031,125263536xyxyxy答案：； 解：据条件，是关于 的方程的两个根，101033235610102 ,3t33156xy tt即的两个根，所以；233560txytL1010332356xy1010332356xyHCPBDAM8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 OFMMO MF答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设2 3 322ypx0,0 ,02pOF点坐标为，
9、则M,M x y，222222 22242MOxyxpx pMFpxpxxy222222224 31323 4444xpxxpx pxxpxxpxpx 故 （当或时取等号）2 3 3MO MF,2M x ypp,2M x ypp9、计算 .0013 sin10cos10答案：. 解：40013 sin10cos1000 00000132cos10sin102sin 30102241sin10 cos10sin20210、过直线 ：上的一点作一个长轴最短的椭圆，l9yxP使其焦点为，则椭圆的方程为 .123,0 ,3,0FF答案：；解：设直线 上的点为，取22 14536xyl,9P t t 关
10、于直线 的对称点，据椭圆定义，13,0F l9,6Q ，当且仅当共线，即22 122221266 5aPFPFPQPFQF2, ,Q P F，也即时，上述不等式取等号，此时， 22PFQFKK96 312t t5t 点坐标为，据得，椭圆的方程为.P5,4P 3,3 5ca2245,36ab22 14536xy11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .kk 答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四544 面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四1 2D
11、AB1C1A1BD1CyxQOPF2F1个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和1，不合；112411323所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体5k 5中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.1111ABCDABC D11ABC D512、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 3m na2007a答案：； 解：简称这种数为“好数” ，则一位好数有个；两位好数有个；13311333 412三位好数有个；，位好数有个；，记，因23 448k13 4k1,2,k L1134n k n kS，即第个好数
12、为第个六位好数；而六位好数中，562007SS52007984S2007984首位为 的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的154102410,11,12,13442562007前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为13139843 256216 的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第130,131,132,133642007a133133个数；2163 6424 而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为1330,1331,1332,1333162007a1331的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个133124 1682007a1331113311844数，则200
13、7133113a三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13、数列满足：；令 na111,211n n nnaaanna12,kkxaaaL；求 12111,1,2,k kykaaaLL1nkk kx y解：改写条件式为，则11111nnnana11221111111111 1122nnnnnnananananaaaaL，121nn所以，；1 1nan n111111111kkki iikxaiikk ；2111111kkkkk iiiiiyi iiia121112 623k kkk kk kk22111121112233236nnkk kkn nn nnx ykk21 311436n nnn15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，nabcd, , ,a b c d则称为四位三角形数，试求所有四位三
