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1、邢台学院 2011 届本科毕业论文1本科毕业论文论文题目：论文题目： 等价关系在近世代数中的地位和作用 姓姓 名：名：郝晓玉学学 号：号：2007051132系（部）：系（部）： 数学系专专 业：业：数学与应用数学班班 级：级：2007 级 1 班指导教师：指导教师： 李秀平邢台学院 2011 届本科毕业论文2完成时间： 2011 年 04 月摘 要讨论了等价关系与集合分类的关系，进一步综合分析了等价关系与子集的陪集、不变子群、商群等的联系，最后介绍通过等价关系建立起来的群即商群与模的剩余类加群n。nZ关键词：等价关系；群；陪集；商群在高等代数中，有许多概念关系都是等价关系，如矩阵的相似关系、
2、合同关系、矩阵的等价.而在近世代数中，等价关系更具有一般性，抽象性，具有十分重要的作用.将这个一般的概念运用到群论中去，可以得到陪集，商群的概念，利用等价关系分类得到的自然同态也就是群的同态基本定理的雏形，并且环论与等价关系也有密切的联系.因此，等价关系在近世代数中有重要的意义及广泛的应用.通过实例来加强对等价关系这个概念的理解及有关性质的证明，论述等价关系与群，陪集，商群之间的联系来说明等价关系在近世代数中的地位及重要性.关键词：等价关系；群；陪集；商群邢台学院 2011 届本科毕业论文3AbstractWe first discuss the relation of equivalence
3、 relation and set classification,and then synthetically analyze the relations of equivalence relation and coset, subgroup, quotient group etc. Finally, we introduce the quotient group and the remainder plus group of mould n which are established by the equivalence relation. Keywords: Equivalence rel
4、ation; Group; Coset; Quotient groupMany concept relations are equivalence in advanced algebra,such as similar relations of matrix,contract relations and the equivalence of matrix.while in modern algebra,equivalence relation is more general and abstract and plays a very important role as well.When th
5、is general concept is used in theory of group,we can get coset and the concept of quotient group.When a group is classified by equivalence relation,we can get natural homomorphism,which is also the rudiment of fundamental theorem of homomorphism.ring theory and equivalent relation are closely linked
6、.Therefore,equivalent relation is of important significance in modern algebra and is widely used.Some examples can be used to strengthen the comprehension of equivalent relation and the proof of cosets and relevant properties.The status and importance of equivalence relations,groups,consets an quoti
7、ent groups.Relation in modern algebra can be illustrated by discussing the relations of equivalence.Keywords:equivalence relation;group;cosets;quotient group邢台学院 2011 届本科毕业论文4目 录目 录前言11 等价关系的概念11.1 关系的定义11.2 等价关系的定义22 等价关系与集合的分类22.1 集合分类22.2 同余关系33 等价关系、子集的陪集、不变子群、商群的联系33.1 等价关系与陪集43.2 不变子群的陪集与商群44
8、商群与模 的剩余类加群6nnZ结论6谢辞7参考文献8邢台学院 2011 届本科毕业论文5邢台学院 2011 届本科毕业论文1前 言等价关系是一类特殊的二元关系，在近世代数中有重要的作用，群、陪集、商群等概念都与等价关系有密切的联系，所以，等价关系在代数系统中有着重要的地位和广泛的应用.1 等价关系的概念映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质.除了这种认识事物的方法以外，有时也需要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类的研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究.这种从
9、局部到整体的认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的.这里将分两个层次分别介绍集合的分类以及将集合进行分类的一般原则等价关系.首先看关系的定义.1.1 关系的定义定义定义 1 11 一个到的映射叫做的元间的一个关系.AADRA若=对，我们说，与符合关系，记成.,R a babRaRb若=错，我们说，与不符合关系.,R a babR例例 1 1 设为整数集，规定为,ZR, a bZ存在,使.aRbcZbac解解 由题意可知，显然对或 二者必居其一，即存在，使, a bZ|a babcZ，或不存在，使，二者必居其一，也即或，二者必居其一.故baccZb
10、acaRbaRb为的一个关系.RZ例例 2 2 设是有理数集，对，规定为Q, a bQR0aRbab解解 由题意可知，.若同号，则，所以.若有一个是 0，则, x yQ, x y0xy xRy, x y，所以.若异号，则，所以，故为的一个关系，实际上为0xy xRy, x y0xy xRyRQR“异号关系”.实际生活中，集合的元素之间也具有不同的关系，比如数学系全体在校学生，有同邢台学院 2011 届本科毕业论文2年级的关系、同班的关系、同宿舍的关系、同省份的关系、性别的关系等等.1.2 等价关系的定义定义定义 2 21 集合的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足以下规律：A:. 反射律：
11、，不管是的哪一个元aa:aA. 对称律：abba:. 推移律：，ab:bc:ac:若，我们说，与等价.ab:ab高等代数中介绍过，矩阵的相似关系、合同关系、矩阵的等价等都是等价关系的具体例子.2 等价关系与集合的分类2.1 集合分类定义定义 3 31 若把一个集合分成若干个叫做类的子集，使得的每一个元属于而且只AA属于一个类，那么这些类的全体叫做集合的一个分类.A定理定理 1 1 集合的一个分类决定的元间的一个等价关系.AA例例 3 设是上一切二阶矩阵组成的集合，令2( )()|, ,1,2ijijMRaaR i jR 2)()()(1)()()(0)()()(222120ijijijijijijaRMaAaRMaAaRMaA秩秩秩易知，的这些子集（三个子集）满足以下特征：)(2RM（1）(0,1,2)iAi （2）ijAAij I（3）UUU202102)(iiAAAARM这三条特征说明，实数域上的全体二阶矩阵作成的集合恰好是三个
