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1、导数与函数的单调性导数与函数的单调性311 导数与函数的单调性教学过程：一创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。二新讲授1问题：图 33-1（1） ，它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图 33-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数 的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1
2、）运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函数相应地， （2）从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数相应地， 2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 33-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率 （ 图 33-3）在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增；在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减说明：（1）特别的，如果
3、 ，那么函数 在这个区间内是常函数3求解函数 单调区间的步骤：（1）确定函数 的定义域；（2）求导数 ；（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例 1已知导函数 的下列信息：当 时， ；当 ，或 时， ；当 ，或 时， 试画出函数 图像的大致形状解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数 图像的大致形状如图 33-4 所示例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1） ； （2） （3） ； （4） 解：（1）因为 ，所
4、以，因此， 在 R 上单调递增，如图 33-（1）所示（2）因为 ，所以， 当 ，即 时，函数 单调递增；当 ，即 时，函数 单调递减；函数 的图像如图 33-（2）所示（3）因为 ，所以， 因此，函数 在 单调递减，如图 33-（3）所示（4）因为 ，所以 当 ，即 时，函数 ；当 ，即 时，函数 ；函数 的图像如图 33-（4）所示注：（3） 、 （4）生练例 3如图 33-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，
5、以后高度增加得越越快反映在图像上， （A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解： 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些如图 33-7 所示，函数 在 或 内的图像“陡峭”，在 或 内的图像“平缓”例 4求证：函数 在区间 内是减函数证明：因为 当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤：（1）求导函数 ；（2）判断
6、在 内的符号；（3）做出结论： 为增函数， 为减函数例已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解例 6已知函数=x+ ，试讨论出此函数的单调区间解：=(x+ )=11x2= 令 0 解得 x1 或 x1=x+ 的单调增区间是(，1)和(1，+)令 0，解得1x0 或 0x1=x+ 的单调减区间是(1，0)和(0，1) 四堂练习1求下列函数的单调区间1f(x)=2x36x2+7 2f(x)= +2x 3 f(x)=sinx , x 4 =xlnx2本练习五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数 单调区间（3）证明可导函数 在 内的单调性
