高中数学竞赛讲义(二)

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1、高中数学竞赛讲义（二）高中数学竞赛讲义（二）二次函数与命题二次函数与命题一、基础知识一、基础知识 1二次函数：当二次函数：当0 时，时，y=ax2+bx+c 或或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于称为关于 x 的二次函数，其的二次函数，其对称轴为直线对称轴为直线 x=-，另外配方可得，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中，其中 x0=-，下同。，下同。2二次函数的性质：当二次函数的性质：当 a0 时，时，f(x)的图象开口向上，在区间（的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减），在增大函数值减小（简称递减），在x0, -）上随

2、自变量增大函数值增大（简称递增）。）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。 当当 a0 时，方程时，方程 f(x)=0 即即 ax2+bx+c=0和不等式和不等式 ax2+bx+c0及及ax2+bx+c0 时，方程时，方程有两个不等实根，设有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和和x|x10，当，当 x=x0时，时，f(x)取最小值取最小值 f(x0)=,若若 a0)，当，当 x0m, n时，时，f(x)在在m, n上的最小值为上的最小值为 f(x0); 当当 x0n 时，时，f(x)在在m, n上的最小值为上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图（以上结论由二次函数图 象即可得出）。象

3、即可得出）。 定义定义 1 能判断真假的语句叫命题，如能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，是命题，“萝卜好大萝卜好大”不是命题。不含不是命题。不含 逻辑联结词逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成 的命题由复合命题。的命题由复合命题。 注注 1 “p 或或 q”复合命题只有当复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且且 q” 复合命题只有当复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与与“非非

4、 p”即即“p”恰好一真恰好一真 一假。一假。 定义定义 2 原命题：若原命题：若 p 则则 q（p 为条件，为条件，q 为结论）；逆命题：若为结论）；逆命题：若 q 则则 p；否命题：若非；否命题：若非 p 则则 q；逆否命题：若非；逆否命题：若非 q 则非则非 p。注注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义定义 3 如果命题如果命题“若若 p 则则 q”为真，则记为为

5、真，则记为 pq 否则记作否则记作 pq.在命题在命题“若若 p 则则 q” 中，如果已知中，如果已知 pq,则则 p 是是 q 的充分条件；如果的充分条件；如果 qp，则称，则称 p 是是 q 的必要条件；如果的必要条件；如果 pq 但但 q 不不p，则称，则称 p 是是 q 的充分非必要条件；如果的充分非必要条件；如果 p 不不q 但但 pq，则，则 p 称为称为 q 的的 必要非充分条件；若必要非充分条件；若 pq 且且 qp，则，则 p 是是 q 的充要条件。的充要条件。 二、二、方法与例题方法与例题 1待定系数法。待定系数法。 例例 1 设方程设方程 x2-x+1=0 的两根是的两根

6、是 ，求满足，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数的二次函数 f(x). 【解解】 设设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（相减并整理得（-）（+）a+b+1=0， 因为方程因为方程 x2-x+1=0 中中0， 所以所以 ，所以，所以(+)a+b+1=0. 又又 +=1,所以所以 a+b+1=0. 又因为又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以所以 c-1=1，所以，所以 c=2. 又又 b=-(a+1)，所以，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由再由 f()= 得得 a2-(a+1)+2=, 所以所以 a2-

7、a+2=+=1，所以，所以 a2-a+1=0. 即即 a(2-+1)+1-a=0,即即 1-a=0， 所以所以 a=1, 所以所以 f(x)=x2-2x+2. 2方程的思想。方程的思想。 例例 2 已知已知 f(x)=ax2-c 满足满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求，求 f(3)的取值范围。的取值范围。 【解解】 因为因为-4f(1)=a-c-1, 所以所以 1-f(1)=c-a4.又又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以所以(-1)+f(3)5+4,所以所以-1f(3)20. 3利用二次函数的性质。利用二次函数的性质。 例例 3 已知二次函数已知二次函数

8、f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方无实根，求证：方 程程 f(f(x)=x 也无实根。也无实根。 【证明证明】若若 a0，因为，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与图象与 x 轴无公共点轴无公共点 且开口向上，所以对任意的且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即即 f(x)x，从而，从而 f(f(x)f(x)。 所以所以 f(f(x)x，所以方程，所以方程 f(f(x)=x 无实根。无实根。 注：请读者思考例注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。的逆命题是否正确。

9、 4利用二次函数表达式解题。利用二次函数表达式解题。例例 4 设二次函数设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程，方程 f(x)=x 的两根的两根 x1, x2满足满足 00，所以，所以 f(x)x.其次其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+1，求证：方程的正根比，求证：方程的正根比 1 小，负根比小，负根比-1 大。大。【证明证明】 方程化为方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以所以 f(x)在区

10、间（在区间（-1,0）和（）和（0，1）上各有一根。）上各有一根。 即方程的正根比即方程的正根比 1 小，负根比小，负根比-1 大。大。 6定义在区间上的二次函数的最值。定义在区间上的二次函数的最值。例例 6 当当 x 取何值时，函数取何值时，函数 y=取最小值？求出这个最小值。取最小值？求出这个最小值。【解解】 y=1-,令令u,则则 0-(b+1)，即，即 b-2 时，时，x2+bx 在在0，-(b+1)上是减函数，上是减函数，所以所以 x2+bx 的最小值为的最小值为 b+1,b+1=-,b=-.综上，综上，b=-.7.一元二次不等式问题的解法。一元二次不等式问题的解法。例例 8 已知不

11、等式组已知不等式组 的整数解恰好有两个，求的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。的取值范围。【解解】 因为方程因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为的两根为 x1=a, x2=1-a, 若若 a0，则，则 x11-2a. 因为因为 1-2a1-a，所以，所以 a0,所以不等式组无解。所以不等式组无解。若若 a0，）当）当 0时，时，a1-a，由，由得得 x1-2a，所以不等式组的解集为所以不等式组的解集为 1-a1 且且 a-(1-a)3， 所以所以 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即，即 A2+B2+C22

12、(AB+BC+CA) 同理有同理有 B0，C0，所以必要性成立。，所以必要性成立。 再证充分性，若再证充分性，若 A0，B0，C0 且且 A2+B2+C22(AB+BC+CA)， 1）若）若 A=0，则由，则由 B2+C22BC 得得(B-C)20，所以，所以 B=C，所以，所以=0，所以，所以成立，成立， 成立。成立。 2）若）若 A0，则由，则由知知0，所以，所以成立，所以成立，所以成立。成立。 综上，充分性得证。综上，充分性得证。 9常用结论。常用结论。 定理定理 1 若若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|. 【证明证明】 因为因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以

13、，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以所以|a+b|a|+|b|（注：若（注：若 m0，则，则-mxm 等价于等价于|x|m）. 又又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|, 即即|a|-|b|a+b|.综上定理综上定理 1 得证。得证。定理定理 2 若若 a,bR, 则则 a2+b22ab；若；若 x,yR+,则则 x+y(证略证略) 注注 定理定理 2 可以推广到可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题 1下列四个命题中属于真命题的是下列四个命题中属于真命题的是_，“若若 x+y=0，则，则 x、y

14、 互为相反数互为相反数” 的逆命题；的逆命题；“两个全等三角形的面积相等两个全等三角形的面积相等”的否命题；的否命题；“若若 q1，则，则 x2+x+q=0 有实有实 根根”的逆否命题；的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。的逆否命题。 2由上列各组命题构成由上列各组命题构成“p 或或 q”，“p 且且 q”，“非非 p”形式的复合命题中，形式的复合命题中，p 或或 q 为真，为真，p 且且 q 为假，非为假，非 p 为真的是为真的是_.p；3 是偶数，是偶数，q：4 是奇数；是奇数；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR,

15、q: N=Z. 3. 当当|x-2|0 的解是的解是 10，则集合，则集合x|xA 且且 xAB=_.11. 求使不等式求使不等式 ax2+4x-1-2x2-a 对任意实数对任意实数 x 恒成立的恒成立的 a 的取值范围。的取值范围。12对任意对任意 x0,1,有有 成立，求成立，求 k 的取值范围。的取值范围。四、高考水平训练题四、高考水平训练题1若不等式|x-a|0 当|a|1 时恒成立的 x 的取值范围是_. 3若不等式-x2+kx-410, B=x|x-5|0 和 a2x2+b2x+c20 解集分别为 M 和 N，那么“”是“M=N”的_条件。6若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2