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1、小升初小升初 几何专题几何专题几何（一）几何（一） 平面图形平面图形一、知识地图 平行线间等积变形三角形 等底等高底边与面积关系过一点引平行线，构成四个小矩形“ 一个思想” 等积变形矩形 两个结论过一点构成四个三角形共边定理其它 共角定理三角形底边与面积关系蝴蝶定理“ 五个模型”梯形蝴蝶定理相似三角形燕尾定理二、基础知识 小学奥数的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应 用，交织而成。攻克奥数平面几何，一定要从等积变形开始。 1、等积变形。 等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形 我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形
2、， 三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底高2，所 以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形 （梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到 的与等积变形相关的性质主要有以下几点：1直线平行于，可知；ABCDBCDACDSS反之，如果，则可知直线平行于。BCDACDSSABCDDCBA（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？） 2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 特别地，我们有 等腰三角形底边上的高线平分三角形面积 三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。 平行四
3、边形的对角线平分它的面积3共边定理：若和的公共边所在直线与直线交于，PABQABABPQM则；QMPMSSQABPAB:MQPBA4共角定理：在和中，若或，则ABCCBAAA180AA。CABAACAB SSCBAABC 5过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形， 其面积满足：。3241SSSSS4S3S2S16E 为矩形 ABCD 内部的任意一点，则；当 E 落在矩形的某条边上时，也成立。ABCDBCEADECDEABESSSSS21EDCBA特别地， （5） （6）两条性质对于平行四边形同样成立。2、五大模型。 我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来
4、说，这五个基本 模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感 受一下模型的魅力吧！ 模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系： 即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。bas2s1S1S2 =ab ；拓展： 等分点结论（“鸟头定理” ）如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的= 2 31 41 6鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理” ）S4 S3s2s1ODCBAS1S2=S4S3 或者 S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2
5、）（S4+S3） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一 方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理” ）S1S3=a2b2 S1S3S2S4= a2b2abab ； S 的对应份数为（a+b）2梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。 构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性质 ； abch ABCHS1S2=a2A2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形， （只要其形状不改 变，不
6、论大小怎样改变他们都相似） ，与相似三角形相关，常用的性质及定理如 下： 1相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆 半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。 3相似三角形周长的比等于它们的相似比。 4相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。 5特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角 形的中位线我们有这样一个结论： 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。_ h_ h_ H_ c_ b_ a_ C_ B_ A_ a_ c_ b_ H_ C_ B_ AS4S3s2s1ba_ h_
7、h_ H_ c_ b_ a_ C_ B_ A_ a_ c_ b_ H_ C_ B_ A_ S1_ S2对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯 形的中位线。 梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。 6那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法： a：三个角对应相等的三角形相似， （事实上只要有两个角相等就可以了） 。 b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。 c：三边分别对应成比例的三角形相似。 注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形， 如模型四。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。模型
8、五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SEGCBE：EC； SBGA：SBGCSAGF：SFGCAF：FC； SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个 三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。3、计算过程中连接辅助线的四个原则。几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。 在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四 个原则： 1 把四边形或者多边形变为三角形，例如：DACB2 连接等分点，例如：DCB A3 构造模型，例如：ABC D4做高
9、线，构造直角三角形DCBA三、经典透析 【例 1】 （）如下左图。将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D，CB 边延长 2 倍到 E，AC 边延长 3 倍到 F。如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是_。FEDCBAFEDCBA审题要点： 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个 三角形 ABC 的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使 边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。详解过程： 解：连结 AE、BF、CD（如上右图）由 EB=2BC，得 SABE=2。 同理可得 SAED=2 SBEF=2SCBF =6。SCF
10、D =3SACD =3。所以 SDEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。 专家点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第 32 题，非常经典。解题过程中 通过连接 AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联， 再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。【例 2】 （）设，如果三角形1 3ADAB1 4BEBC1 5FCAC的面积为 19 平方厘米，那么三角形的面积是_平方厘米。DEFABCECFADB审题要点：和【例 1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑 应用模型一。解：144 3515ADFABCABCSSS121 436BEDABCABC
11、SSS313 4520FECABCABCSSSSABC=(+) SABC+19154 61 20345.6ABCS专家点评：这是 2004 年小学数学奥林匹克 A 卷的，其实竞赛题不一定都是很难， 尤其是平面几何部分，但他们十之八九都是很巧妙的，拿这道题来 说，图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我 们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，除了，其余三个我们ABCADFBDEEFCDEFSSSSS19DEFS可以直接用“鸟头定理” 。鸟头定理也是本题的一个中心考点。【例 3】 （）四边形的对角线与交于点（如图）所ABCDACBDO示。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，ABD
12、BCD1 32AO ，那么的长度是的长度的_倍。3DO CODO审题要点：在本题中四边形 ABCD 为任意四边形，且出现 SABD：SBCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。 详解过程：解法一：:1:3ABDBDCAO OCSS2 36OC :6:32OC OD 解法二：1 3ABCBCDSS1 3AHCG1 3AODDOCSS1 3AOCO2 36OC :6:32OC OD 专家点评：本题是 2003 北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛的试题。在本题中，三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直ABDBCD 接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目 中给
13、出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是 做垂直于H，于，面积比转化为高之比。再应用模型一的结AHBDCGBDG论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出 AO=CO。1 3【例 4】：（）如下图所示， AEEC12，CDDB14，BFFA13， 三角形 ABC 的面积等于 1，那么四边形 AFHG 的面积是_。 GHDEFCBA审题要点：四边形 AFHG 的面积可以看作是三角形 ABC 的面积减去三角形 BEC 的面积再分别减去三角形 BFH 和三角形 AGE 的面积得到的。如何把三角 形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。详解过程： 以下各图为了
14、强调相关部分，暂去掉另外线条。 解： 如下图所示，我们分别求出 BFH、AGE 的面积问题也就解决。如上图，我们设 BFHx，则 AFH3x；设 AHEy，则 CEH2y；于是有 ABE4x+y31ACF3y+3x43有，则 9x，所以 x； 43331312yxyx41 361如下图，我们设 AEGa，则 CEG2a；设 CDGb，则 BDG4b； 于是有 ACD3a+b51BCE2a+5b32有，则 13a，所以 a； 32521515baba31 391这样，AFHGABEBFHAEG。31 361 391 468131专家点评： 求四边形，可由三角形的面积减去三角形的AFHGABCBE
15、C 面积，再分别减去三角形 BFH 和三角形 AGE 的面积。而三角形的面积BEC可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求及BFHS。与可由二元一次方程组分别解得。AGESBFHSAGES解法二：ABCDEFHBH：HE=SBFC：SEFC=（）=12 1 43 42 3所以 SBFH=SABE（）=（）= 1 41 31 31 41 31 36 同理： ABCDEFGAGGD=SABESBDE=（）=581 32 34 5所以，SAGE=SADC（）=（）=5 131 31 55 131 31 39AGAD=5（5+8）=513 所以， S四边形 AFHGSABESBFHSAEG31 361 391=468131专家点评： 本题解法
