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1、学而思教育 六年级 数学 竞赛 123 班 教师版 第 6 讲 Page 1of 9第第 6 6 讲讲数论数论( (二二) ) )教学目标教学目标小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点 同余性质是解决同余问题的重要依据同余性质是解决同余问题的重要依据, ,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题. . 熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用. . 能
2、用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理专题回顾专题回顾余数定理：余数定理： 两数的和除以两数的和除以的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以的余数和的余数和mm 实例：实例：，这样，这样的余数就等于的余数就等于的余数的余数7321 L L5312 L L753123两数的差除以两数的差除以的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以的余数差的余数差mm 实例：实例：，这样，这样的余数就等于的余数就等于的余数的余数8322 L L4311 L L843213两数的积
3、除以两数的积除以的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以的余数积的余数积mm 实例：实例：，这样，这样的余数就等于的余数就等于的余数的余数7321 L L5312 L L7531 23带余除法：带余除法： 一般地，如果一般地，如果是整数，是整数，是整数是整数，那么一定有另外两个整数，那么一定有另外两个整数和和，使得，使得ab0b qr0rbabqr 当当时，我们称时，我们称能被能被整除整除0r ab 当当时，我们称时，我们称不能被不能被整除，整除，为为除以除以的余数，的余数，为为除以除以的不完全商的不完全商( (亦简称为亦简称为0r abrabqab 商商) )用带余数除式又可以表
4、示为用带余数除式又可以表示为, ,abqr L L0rb 同余式：同余式： 若两个整数若两个整数，被自然数被自然数除有相同的余数，那么称除有相同的余数，那么称，对于模对于模同余，用同余，用“同余式同余式”表表abmabm 示为示为意味着意味着(我们假设我们假设)，是整数，即是整数，即modabmababmkk|mab若两个数若两个数，除以同一个数除以同一个数得到的余数相同，则得到的余数相同，则，的差一定能被的差一定能被整除整除abcabc学而思教育 六年级 数学 竞赛 123 班 教师版 第 6 讲 Page 2of 9【例例 1】 有一个整数，用它去除有一个整数，用它去除，所得到的所得到的
5、个余数之和是个余数之和是，那么这个整数是，那么这个整数是_70110160350【分析分析】，除数应当是的大于小于的约数，只可能(70110160)50290503162L L2901770是和，所以除数不是295811058152 L L525058 ，所以除数是7029212 L L11029323 L L16029515 L L1223155029【例例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？ 【分析分析】设两位数(表示十位数字，表示个位数字) abab1091ababa ababab由于余数不会超过除数的值，所以我
6、们对的值从最大值开始往小进行尝试搜索：abab18 当，此时余数为18ab9 当，则两位数为、，余数为、17ab8998413 当，则两位数为、，余数为 、 、16ab9788791815 则余数最大的为，因为接下来，除数最大为，这样余数中最大的也只可能为，所以余数最151514大的是15专题精讲专题精讲同余问题【例例 1】 一个自然数除一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是所得的余数分别是、，求这个自然数和，求这个自然数和的值的值.5a 2aaa 分分分分将这些数转化被该自然数除后余数为的数：2a，、，这些数被这个自然数除所得的余数都是，同余.4295284879150021
7、0002a将这三个数相减，得到、，所求的自然数一定是和的公约数，84879157100084815257152而，所以这个自然数是的约数，显然 1 是不符合条件的，经过验证，当这个自然数57,1521919是时，除、所得的余数分别为、，时成立,所以这个自然数是，19429791500111266a 19 .6a 拓展拓展 已知已知，被某自然数除所得余数分别是被某自然数除所得余数分别是，求该自然数的值，求该自然数的值601542001a 2a31a 分分分分自然数，被该数除所得余数分别是，61154201a2a3a 自然数与同余，与同余，261372115461 1549394201 所以除数是
8、和的公约数，运用辗转相除法可得到该除数为经过检验成立3567919329 拓展拓展 甲、乙、丙三数分别为甲、乙、丙三数分别为 603，939，393.某数某数除甲数所得余数是除甲数所得余数是除乙数所得余数的除乙数所得余数的倍，倍，除除AA2A 乙数所得余数是乙数所得余数是除丙数所得余数的除丙数所得余数的 2 倍倍求求等于多少？等于多少？AA 分分分分设这个数为，则M11603MArL L22939MArL L33393MArL L,要消去余数,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减122rr232rr1r2r3r这样我们先把第二个式子乘以，这样被除数和余数都扩大倍，同理，第三个式子乘以 42
9、2学而思教育 六年级 数学 竞赛 123 班 教师版 第 6 讲 Page 3of 9这样我们可以得到下面的式子： 11603MArL L22939222MArL L 33393424MArL L这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数，意味着能被 M 整除，9392603127539346039691275,306513 17，这三个数有公约数 6039393933则等于51317A17【例例 2】 一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数好数” 例如，根据例如，根据 是是“好数好数” 在四位数在四位数 20的方框中填入某个恰当的数
10、字后，可以使得的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得757757738无论圆圈内填入无论圆圈内填入中的哪个数字，该四位数都不是中的哪个数字，该四位数都不是“好数好数” ，那么在方框中应填写数字，那么在方框中应填写数字09: _【分析分析】注意到所有“好数”都是 9 的倍数，但 9 的倍数不一定都是好数对应的“好数”是；200x20021998xx对应的“好数”是；201x201212007xx 对应的“好数”是；202x202222016xx 对应的“好数”是；209x209292079xx对应的“好数”是；210x210212097xx 即在 20中“好数”只能是 2007、2016、202
11、5、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097 所以，如果在 20的“”内填入 8，则不管“”填入什么数都不能是“好数”【例例 3】 ( (南京市南京市“兴趣杯兴趣杯”少年数学邀请赛决赛少年数学邀请赛决赛)现有糖果现有糖果 254 粒，饼干粒，饼干 210 块和桔子块和桔子 186 个某幼儿园个某幼儿园 大班人数超过大班人数超过 40每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子余下的糖果、每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子余下的糖果、 饼干和桔子的数量的比是：饼干和桔子的数量的比是：，这个大班有，这个大班有_名小朋友，每人分得糖果名小朋友
12、，每人分得糖果_粒，饼干粒，饼干1:3:2 _块，桔子块，桔子_个个 【分析分析】法一：设大班共有名小朋友由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是，所以余下的糖a1:3:2 果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而一定是的倍数，即254186210a是的倍数2541862102301 23010232523 a同样，也一定是的倍数所以，只能是的因225418632223 142327 aa232 数但，所以此时，40a 46a 2544652421046372 18646348 故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个法二：如果糖果有粒，饼干有块，橘子有个，那
13、么余下的糖2546152421024201863558 果、饼干、橘子的个数相等，所以、这三个数的相互之差是大班人数的倍数，1524420558，所以幼儿园大班人数是的大于的约152442011045584201381104,13813813840数，即、，经过检验，其中只有满足条件每人分得糖果粒、饼干 块、橘子 块138694646533余数规律【例例 4】 试求试求的末两位数的末两位数105253168 【分析分析】分别考虑这两个幂除以 4 和 25 所得的余数首先考虑 4，253 除以 4 余数是 1，所以 25310除以 4 的余数仍是 1；168 是 4 的倍数，它的 5 次学而思教
14、育 六年级 数学 竞赛 123 班 教师版 第 6 讲 Page 4of 9方仍是 4 的倍数，即除以 4 的余数为 0，则原数除以 4 的余数也是 0再考虑 25，253 除以 25 余 3，则只需看 310除以 25 的余数，又 310=2727273，则 310除以25 的余数为 2223=24；168 除以 25 余 18，则只需看除以 25 的余数，可知余518324324 18 数为 18；又除以的余数为 7，所以原式除以 25 的余数即为 7 24 1843225两位数中，能被 4 整除，除以 25 余 7 的数只有 32，则原式的末两位即为 32拓展拓展试求试求的末两位数的末两位数. .20082007 分分分分，所以的末两位数与的末两位数相同2007200072008200720087，被除余 所以被 100 除得的余数等于 100450220082100425027749492401240110015022401，所以的末两位数是.50212008200701拓展拓展求求除以除以的余数的余数891437 分分分分法一： (被除余 )1433 mod714373(被除所得余数与被除所得余数
