逆向思维数学应用

《逆向思维数学应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逆向思维数学应用（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、谈谈“逆向思维逆向思维”在数学教学中的运用和培养在数学教学中的运用和培养分享到： 0谈“逆向思维”在数学教学中的运用和培养俄罗斯著名教育家加里宁说：“数学是思维的体操”。正如体操锻炼可以改变人的体质一样，通过数学思维的恰当训练，逐步掌握数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识。在数学教学中应用多种思维方法教学是培养学生能力的重要途径之一，思维是智力的核心。观察、分析、想象、推理、判断都与思维密切联系在一起。培养学生的思维能力是数学教学中落实素质教育的关键，也是数学科素质教育的核心。近几年来，部分省市中考数学试卷时有出现一类需用逆向思维来求解的题目，下面就

2、逆向思维在数学解题中的应用和如何培养学生的逆向思维，谈几点看法：一、“逆向思维”在解题中的作用问题的引入甲、乙、丙、丁四个数的和为 43，甲数的 2 倍加 8，乙数的 3 倍，丙数的 4 倍，丁数的 5 倍减4，结果相等，问甲、乙、丙、丁各是多少？本题若从正面分析，正面列式完全是可以解出来的，但要假设 4 个未知数，列 4 个方程，解起来会比较麻烦，而运用“逆向思维”却“轻而易举”。可以设这四个运算结果相等的数为 x，这样就可以比较快地求出甲、乙、丙、丁这四个数分别是 14、12、9、8。这样一种思维方式就是逆向思维。它的特点是不盲从别人的观点而善于提出新思路、新方法的一种创造性思维，它是从反

3、面考虑问题的一种方式，通常要打破习惯性的思维方法，有意做出与习惯思维方向（正向思维）完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推；直接解决麻烦或复杂时考虑间接；探讨可能性发生困难时，要考虑不可能性；应用公式法则不凑效时，反过来用因此当反复思考某个问题却“山穷水尽”时，逆向思维经常会出现“柳暗花明”的境地，还会达到事半功倍的好效果。也就是说，对于某些问题，有时逆向思维优于正向思维。例如 ， ， ， 的大小，按惯例是先通分母再比较大小，但本题分母较大，通分母比较麻烦，于是有人另僻蹊径，不通分分母而先通分分子，再比较大小，于是原题就变为比较的大小，这样不但节约了时间，而且还培养逆向思维的习惯，从而提高了智力。

4、此外，逆向思维在某些问题还会对正向思维起到推动和促进作用。例 已知：x+y+z= + + =1求证：x、y、z 中至少有一个等于 1。分析：本题结论反面情况是 x、y、z 都不等于 1 即(x1)(y1)(z1)0 将左边展开后再与条件比较，发现矛盾。即得原题的结论。证明：设 x、y、z 都不等于 1则 x10 y10 z10(x1)(y1)(z1)0即 xyz(xy+yz+xz)+x+y+z10 (1)又x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx (2)xyz(xy+yz+xz)+x+y+z10 (3)(1)、(3)式发生矛盾 原结论成立。完成这个证明过程后，我们又可以从中得到启发，启发我们若

5、从条件出发，用正向思维完全可以推得(x1)(y1)(z1)0，即得 x、y、z 至少有一个等于 1。证明：由条件得 x+y+z10 (1) xyz(xy+yz+xz)0(2)(1)(2)得 xyz(xy+yz+xz)+x+y+z10分解因式得(x1)(y1)(z1)0x10 或 y1=0 或 z1=0即 x、y、z 中至少有一个等于 1。二、“逆向思维”在解题中的应用1、“逆向思维”在解方程有关问题中的应用例 1 已知关于 x 的二次方程ax22bxc0bx22cxa0cx22axb0中，至少有一个方程有不同的实数根，试求出 a、b、c 应满足的条件。分析：这题若从正面出击，因情况复杂难以下手

6、，但是若从“三个二次方程至少有一个不同的实数根”的反面，即从“三个二次方程都没有不同的实数根”去考虑，则比较容易得到它的结果。解：设这三个二次方程都没有不同的实数根三式相加，除以 4 得 a2b2c2abbcca0整理得 （ab）2（bc）2（ca）20但（ab）20 （bc）20 （ca）20abc又已知 a0 b0 c0 故求得原题应满足的条件为：a，b，c 为不全相等的非零实数。例 2 若解关于 x 的分式方程时不会产生增根，求 k 的取值范围。分析：考虑到不会产生增根的反面是产生增根，从全体实数中除去产生增根时 k 的值即为原题的解。解：去分母得 (x+2)(kk2)=x25x2若方程

7、产生增根，则(x+2)(x2)0此时 x1=2 x22当 x=2 时，k 无实数解x2 时，解得 k1=1 k22当 k1 且 k2 时，原方程不会产生增根。2、“逆向思维”在解决有关函数问题中的应用例 若二次函数 ymx2(m3)x1 的图像与 x 轴的两个交点至少有一个在原点的右侧，求m 的取值范围。解：从正面考虑，情况比较复杂，设两个交点都不在原点的右侧，则 y0 时，方程有两个根都小于或等于 0，于是有由此解得 m9其反面是 m9，又因为二次函数图像与 x 轴有交点，所以还必须有0，且 m0，即m 的取值范围是 m1 且 m0.3、“逆向思维”在几何证题中的应用例 设 o 是ABC 内

8、一点，AO、BO、CO 延长后，分别交对边于 D、E、F。 试证： 三个中至少有一个不大于 2。证明：本题若从正面考虑有三种情况比较复杂，从反面考虑设 都大于 2。即 由此推得 AO2OD，AD3OD,同理 故命题得证。4、“逆向思维”在排列组合中的应用例 今有一角币一张，二角币一张，五角币一张，一元币 4 张，五元币二张，用这些纸币任意付款，则可以付出不同数额的款共有多少种？分析：从正面去分析，涉及重复排列组合，显然十分复杂，故应改从反面去分析，从一角到最高币值 148 角共有 148 种币值，从中去掉不可能构成的币值就可以，而不能构成的币值应该是4 角、9 角、1 元 4 角、1 元 9

9、角到 14 元 4 角共 29 种币值，故 14829119，即剩 119 种。5、“逆向思维”在数论中的应用例 1 求 150 各整数中，不能被 7 整除的所有数字之和。分析：要直接求出 150 各整数中，不能被 7 整除的整数之和 S1 是有些费事，但 150 各整数之和可以用数学家高斯简捷算法很快可以求得 S=1275 且 150 各整数中能被 7 整除各数7，14、21、28、35、42、49 之和 S2196，从而求得 S1SS21079。解 ： （略）。例 2 1984 年美国数学邀请赛有这样一道题目：不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？分析：从正面推算甚是复杂，但从反面去思考

10、，一一去掉那些能分成两个奇合数之和的偶数却十分容易，组成偶数的末位数应是 0、2、4、6、8，共 5 种，因此，（1）末位为 0 者，经验算 10、20 合格，但 301515， 401525故应去掉 30 及 30以上的末位为 0 的整数。（2）末位为 2 者，经验算 2、12、22、32 均合格，但 422715 522725故应去掉 42及 42 以上末位为 2 的整数。（3）末位为 4 者，经验算 4、14 都合格，但应去掉 24915 34925即 24 及 24 以上末位为 4 者。（4）末位为 6 者，经验算 6、16、26 均合格，但 362115 462125应去掉 36 及

11、 36以上末位为 6 的整数。（5）末位为 8 者，经验算 8、18、28、38 均合格，但 483315 583325故应去掉 48及 48 以上末位为 8 的整数。综上所述，合题意的应是 38。6、“逆向思维”在实际问题中的应用例 一个人以每小时 3 公里的速度沿一条有电车过往的街道行走，他注意到，在有 40 辆与它同向的车从身边驶过的时侯，有 60 辆车相向驶过，请问电车的平均速度是多少？分析：在这个问题中，人和车都是动的，如果从这方面分析问题就比较复杂，但是动的反面是静的，将行走着的人想象为站立不动，且设电车的车速为 x 公里/小时，这样与人同向电车的车速为（x3）公里/小时，与人逆向

12、的电车车速为（x3）公里/小时，此时车速与车辆数成正比，即，解得 x15 公里/小时。三、培养学生逆向思维能力的有效途径从以上几个例子，我们可以看出，“逆向思维”在解决一些数学问题与一些实际问题时，确是起到“柳暗花明又一村”的作用，但在平时的教学中，应如何培养和提高学生的“逆向思维”的能力呢？1、教师在平时教学中要多讲一些有关要用到“逆向思维”的例子，鼓励学生要有采用“逆向思维”的勇气与良好的意志，要谆谆告诫学生，当一切“正向思维”已山穷水尽时，这表明犯了方向性的错误，此路不通就要反其道而行之，这样就可能会马上奏效。2、培养学生的“逆向思维”，要在平时的教学过程中，从最简单、最基本以及日常生活

13、中的实例开始，要不失时机用互为逆运算、逆变形来简化解题过程，训练逆向思维，使学生慢慢培养和具备逆转心理的习惯，使学生能从多角度和全方位地研究数学问题。下面就初中数学中比较常遇到的要用逆公式、逆法则、逆定理来解题作一个简要介绍。（1）逆用分式加减法则例 1 计算分析：同理解：原式例 2 化简解：原式 1 （2）逆用同底数幂乘法法则 amanam + n， aman amn(ab)mam bm， ( am )nan m 例 1 已知 10m2， 10n3 。求（1）103m2n (2)102mn 的值 解：（1）103m2n(10m)3(10n)22332=(2)102mn(10m)210n=22

14、312。例 2 计算(0.125)2001(2)20013解：原式(0.125)2001(2)320010.125(2)320011（3）逆用乘法公式(ab)(ab)a2b2 (ab)2=a22ab+b2例 1 分解因式：a2nb2n2bn1解：原式(an )2(bn )2+2bn+1(anbn 1)(anbn 1)例 2 计算 解：原式2 (2 2 ) 4 8（4）逆用二次根式中的公式 |a|例：求的值。解：（5）逆用一元二次方程根的判别式例 已知 a、b、c、d 为非零实数且满足(a2+b2)d22bd(a+c)+b2+c2=0求证：b2ac证明：a、b、c、d 为实数且(a2+b2)d2

15、2bd(a+c)+b2+c2=0一元二次方程(a2+b2)x22b(a+c)x+b2+c2=0 有一根为 d（d 为实数）0 即2b(a+c)24(a2+b2)(b2+c2)4(b2ac)20，(b2ac)20b2ac0 b2ac 故命题得证。（6）逆用韦达定理例 已知实数 a、b、c 满足 a6b，cab9。求证：ab3、注意训练学生“反向变题”能力为了说明问题的方便，特引入“反向变题”这个概念。所谓“反向变题”就是把数学题中的“已知”和“求证”在一定条件下互相转换，而形式有异于原题基本思想的新题型。例如“在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，求证：AC ADAB。对于此题，我们可以把反过来，“在 ABC 中，CDAB 于 D 且 AC ADAB”。求证ACB90”。像这样可以互相转换的题目在初中数学课本中是可以找出不少。