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1、1线性代数综合练习及参考答案 一、一、单项选择题单项选择题 1设 A 为矩阵，B 为矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.2332AAB BABT CA+B DBAT2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）BA,A. B. TTT)(BAABTTT)(ABABC. D. 1T11T)()(BAABT111T)()(BAAB3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）BA,A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = I B.TTT)(BAABC. 秩秩秩 D.)(BA)(A)(B111)(ABAB4设均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ ）BA,A B C DB
2、AB BAAB IAA IA15设是可逆矩阵，且，则（ ）.AAABIA1A. B. C. D. B1 BIB()IAB16设，是单位矩阵，则（ ）)21 (A) 31(BIIBATA B C D 6231 6321 5322 52327设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ ）成立. AAB = AC，A 0，则 B = C BAB = AC，A 可逆，则 B = CCA 可逆，则 AB = BA DAB = 0，则有 A = 0，或 B = 08设是阶可逆矩阵，是不为 0 的常数，则（ ） Ank()kA1A. B. C. D. kA111 kAnkA111 kA9设，则 r(
3、A) =（ ） 314231003021 AA4 B3 C2 D110设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，bAX 00000120004131062131则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）A1 B2 C3 D411线性方程组 解的情况是（ ） 012121 xxxxA. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解12若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组 01221A无解A B0 C1 D21 213 线性方程组只有零解，则（ ）.AX 0AXb b()02A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解 14设线性方程组 AX=b 中，
4、若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解 15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ）bAX OAX A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定 二、二、填空题填空题 1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 .BA,2计算矩阵乘积= 102110003213若矩阵 A = ，B = ，则 ATB=211324设为矩阵，为矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则有AmnBstm n s t, , 关系式 5设，当 时，是对称矩阵. 13230201 aAa A6当 时，矩阵可逆.a aA1317设为两个已知矩阵，
5、且可逆，则方程的解 BA,BI XBXAX 。 8设为阶可逆矩阵，则(A)= Anr9若矩阵 A =，则 r(A) = 33020421210若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组 AX = b11若线性方程组有非零解，则 002121 xxxx 12设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量01nnmXA的个数等于 13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般0AX 000020103211 A解为 .14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为AXbA 110000012401021dA则当 时，方程组有无穷多解.dAXb 15若线性方程组有唯一
6、解，则 . AXb b()0AX 0 三、计算题三、计算题31设矩阵，求 113421201 A 303112 BBAI)2(T2设矩阵 ，计算 021201A 200010212 B 242216 CCBA T3设矩阵 A =，求 11212436131A4设矩阵 A =，求逆矩阵 0124112101A5设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1 0212011421366设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1 022011 2103217解矩阵方程 21 4332X8解矩阵方程. 0211 5321X9设线性方程组讨论当 a，b 为何值时，方程组无解，有唯一解， baxxxxxxxx32
7、1321312022有无穷多解.10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其 052231232132131xxxxxxxx解的情况.11求下列线性方程组的一般解：03520230243214321431xxxxxxxxxxx12求下列线性方程组的一般解：126142323252321321321xxxxxxxxx413设齐次线性方程组 0830352023321321321xxxxxxxxx问取何值时方程组有非零解，并求一般解.14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解. 1542131321321xxxxxxxx15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为bAX 300000
8、331013611LA问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.bAX bAX 四、证明题四、证明题 1试证：设 A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA2试证：设是 n 阶矩阵，若= 0，则A3A21)(AAIAI3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求.)(21IBAAA 2B1B4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.nAAI2TAAIA 5设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则 ABBA 也是对称矩阵 练习题答案练习题答案 一、一、单项选择题单项选择题 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9.D 10. A 11. A 1
9、2. A 13. B 14. B 15. C 二、填空题二、填空题1与是同阶矩阵 24 3 4 AB 264132mt ns,50 6 7 8 92 10无解 11-1 3ABI1)(n12n r 13 (其中是自由未知量) 14 15只 42431 22xxxxx43, xx1有 0 解 三、计算题三、计算题1解 因为 = T2AI 100010001 2T113421201 =200020002 1421203111421003115所以 = BAI)2(T142100311 30311211030512解：=CBA T200010212 022011 242216= = 042006 2
10、422162002103解 因为 (A I )= 1001120101240013613 100112210100701411 1302710210100701411 172010210100141011 210100172010031001 210100172010031001所以 A-1 = 2101720314解 因为(A I ) = 120001010830210411100010001012411210 123124112200010001123001011200210201 21123124112100010001所以 A-1= 211231241125解 因为 AB = 021201142136 14126(AB I ) = 12100112 10140112 121021 2101 12101102所以 (AB)-1= 1221 216解 因为BA= 210321 022011 2435(BA I )= 10241111 10240135 54201111 2521023101所
