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1、 习题 2 2. 设离散型随机变量的分布律为 . 4 , 3 , 2 , 1,12)(kkakXP 求（1）常数 a； （2）)2(XP. 解 （1）由, 1)91 71 51 31(a得248315a （2）248105) 1()2(XPXP （答案有误） 3.一颗骰子抛两次，以 X 表示两次中所得的最小点数，试求 X 的分布律。 解 X 可能取值为 1,2，6 ,，用二维数组表示两次的点数，则两次中最小点数为 1 可表示为： （1，1） ， （1,2） ， （2，1） ， （1,3） ， （3，1） ，) 1 , 6(),6 , 1 ( ,， 于是36/111 XP，同理可得其余。 4甲、
2、乙两棋手约定进行 10 局比赛，以赢的局数多者为胜。设在每局中甲赢的概率为 0.6，乙赢的概率为 0.4。假设各局比赛是相互独立的。 （1）写出甲赢局数的分布律； （2）试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。 解 （1）设甲赢局数为 X，则)6 . 0 ,10( BX。 （2）甲胜概率为) 1 , 6 . 0 ,10, 5(1516BINOMDISTXPXP =0.6332 乙胜概率为) 1 , 6 . 0 ,10, 4(4BINOMDISTXP=0.1662 不分胜负的概率)0 , 6 . 0 ,10, 5(5BINOMDISTXP=0.2007 5.某人独立地射击，设每次射击的命中率为 0.
3、02，射击 400 次，求至少两次击中目标的概率 解：设击中目标次数为 X，则)02. 0 ,400( BX。 方法 1：802. 0400np，利用泊松定理并查泊松分布表得 997. 0!8282ekXPkk方法 2：利用 excel 函数 ) 1 ,01. 0 ,400, 1 (1112BINOMDISTXPXP =1-0.002835997. 0 6若每次射击中靶的概率为 0.7，求射击 10 炮，命中 3 炮的概率，至少中 3炮的概率，最可能命中几炮 解：设中靶次数为 X，n=10, p=0.7, XB(10, 0.7) 10, 2, 1,3 . 07 . 010 10kCkXPkkk
4、733 103 . 07 . 03CXP, 21013XPXPXPXP 829103 . 07 . 0453 . 07 . 0103 . 01 9103 . 08 . 813 . 03881， 或 .3 . 07 . 0) 3(10 10103kkkkCXP 又77 . 010np, 所以最有可能命中 7 炮. 7从学校乘汽车到火车站的途中有 5 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52设为途中遇到红灯的次数，求的分布律 解：)4 . 0 , 5( BX 8设离散型随机变量的分布律是 ., 2 , 1,!)(kekCkXPk 讨论常数 C 与应满足的条件 解：因为
5、!11kCeekCkkkk) 1(eCe)1 (eC， 由.1)1 ( eCeC解得 9设服从参数的泊松分布，且 P(=1)=P(=2)，求 P(1)及 P(023) 解：, ,k,!kekXPk 210由,21XPXP即有! 2! 12 ee, 从而2. 因此 22212211) 1(!2 !21eeekekeXPkkkk. 11进行某种试验，设每次试验成功的概率为43，以表示首次成功所需试验的次数，试求出取偶数的概率 （原书此处有误） 12 盒内有 3 个黑球和 6 个白球， 从盒内随机地摸取一个球， 如果摸到黑球，则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记为抽取次
6、数，求的分布律及分布函数 解：抽取次数 X 的可能取值为 1，2，3，4，且 32 961XP, 41 86 932XP, 141 76 82 933XP, 841 86 71 82 934XP. 14. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 exdexdcxxbxxaxF,1 ,ln, 1,)( 求常数dcba,和 X 的概率密度。 解 由0)(F得0a；由1)(F得1d； 由)(xF在1x的连续性可得, 0 dc即1c； .2! 1213022 2 eeXPXP由)(xF在ex 的连续性可得,ddcebe即. 1b 15设连续型随机变量的概率密度为 ,)1 (2)(2xaxxf（1）试确定常
7、数 a； （2）若 Pab=0.5，确定常数 b 解： （1）由 aaxdxxdxxf|arctan2 )1 (2)(12).arctan2(2a 得 arctan a=0，从而 a=0. （2）由babdxxbXaP,21arctan2 )1 (22得,barctan4 从而 b=1. 17已知随机变量的概率密度 ,21)(|xexfx试求的分布函数 解：由于xdttfxF,)()( 因此当 x0 时， xtxxtedtedtexF21 21 21)(. 当 x0 时，)2(21 21 21)(00xxttedtedtexF .211xe 故 X 的分布函数为 . 0, 0,211,21)(
8、xxee xF xx18.设随机变量的概率密度为 ., 0, 10 ,2)(其他xxxf 以 Y 表示对 X 的三次独立观察中事件5 . 0X出现的次数，试求)2(YP。 解：每次观察的观察值不大于 0.5 的概率为 .25. 021 . 05 . 00dxxXP 从而 1406. 0)75. 0()25. 0(2122 3CYP 19设某汽车站每隔 20 分钟有一辆汽车通过，乘客在 20 分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过 15 分钟的概率 解：由题意知，乘客到达汽车站的等待时间 X 服从0，20上的匀均分布， 故 15043 20115dxXP 20设随机变量U1，6
9、，求一元二次方程 t2+t+1=0 有实根的概率 解：设 P 表示方程有实根的概率，由=X240，得 X2 或 X2，所以 6254 51222dxXPXPXPP=0.8 21某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其分布密度 , 0, 0, 0,6001 )(600xxexfx试求：在仪器使用的最初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率 解：设电子元件的寿命为 X, 一只电子元件寿命大于 200 小时的概率为 .1600120031 6002000edxeXPpx3 只元件寿命均大于 200 小时的概率为 .)1 (1 ()1 (1331 3e
10、ep 故 3 只元件中至少有一只损坏的概率为 .1)1 (113eP 22 某厂生产的某种电子元件的寿命（小时） 服从正态分布 N （1600，2） ，如果要求元件的寿命在 1200 小时以上的概率不小于 0.96，试求常数 解：因 XN),1600(2,故) 1 . 0(1600NX . 要 .96. 01200 XP 即要 .96. 0160012001600 XP 因此 .960400 反查标准正态分布表，得 7550400., 即3227. 23抽样调查结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩（即参数的值）为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考
11、生的数学成绩在 60 分至 84 分之间的概率 解：由题意知，学生成绩 X 近似服从正态分布，即).,(NX272由 023. 072967296 XPXP 得.977. 0023. 01)24(查正态分布表得 12, 224即，从而 72847272608460XPXP 6826. 018413. 021) 1 (2) 1() 1 (, 即考生成绩在 60 分至 84 分之间的概率为 0.6826. 24. 设随机变量（2,） ，且方程02Xxx有实根的概率为 0.5，求未知参数。 解 由5 . 0)041(XP，得5 . 0)4/1(XP，由于 X 服从正态分布，所以. 4/1 25. 设
12、随机变量的分布函数为 F（x） ，概率密度)()()(21xbfxafxf，其中1( )f x 为标准正态分布的概率密度，2( )fx 是参数为的指数分布的概率密度，已知81)0(F，求常数.,ba 解 由 8105 . 0)()()()0(02010adxxfbdxxfadxxfF 得. 4/1a（原书答案有误） 由1)()()()(21badxxfbdxxfadxxfF 得. 4/3b 26.设随机变量的概率密度 ., 0, 10,2 )( 其它xx xf 现对进行 n 次独立重复观测，以 Yn表示观测值不大于 0.1 的次数，求 Yn的分布律 解：每次观察的观察值不大于 0.5 的概率为
13、 .01. 021 . 01 . 00dxxXP 从而 nkCkYPknkk nn, 2, 1, 0,)99. 0()01. 0(27设测量的随机误差N（0，102） ，试求在 100 次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 解：因 XN(0,102), 则) 1, 0(10NX，所以 975. 022)96. 1 (2296. 1106 .19 XPXP5 . 0. 设 100 次测量中， 测量误差的绝对值大于 19.6 的次数为 Y， 则)5 . 0 ,100( BY.从而 kkh.CYP100 10010039503. 因55 . 0100 np，由泊松定理得 !5351003keYPkk, 查泊松分布表得875. 03 YP. 28设随机变量的分布律 1 0 1 2 P 103 101 51 52求 Y=2+1 的概率分布 解：由于随机变量 X 的可能取值为 0, , 2, 1 所以随机变量12 XY的可能取值为 1，2，5. .10325,21 52 101112,5101XPYPXPXPYPXPYP所以 Y 的分布律为 Y 1 2 5 P 0.2 0.5 0.3 29设 XU（0，1） ，试求X1的分布。 解 设XY1，由于 X 的概率密度为 ., 0) 1 , 0(, 1)(其它xxfX 利用公式| )(
