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1、 优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137二次函数应用题专题训练知识要点：知识要点：二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变cbxaxy20aabac abxay44)2(2 2量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） 即当时，函数有最小值，并且当，；0aabx2abacy442最小值当时，函数有最大值，并且当，0aabx2abacy442最大值如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当21xxx21xxx，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增abx2abacy442最值减性；如果在此范围内
2、随的增大而增大，则当时，yx2xx ，当时，；cbxaxy22 2最大1xx cbxaxy12 1最小如果在此范围内随的增大而减小，则当时，当时，yx1xx cbxaxy12 1最大2xx cbxaxy22 2最小在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、 面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之 类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1运用配方法求最值； 2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3建立函数模型求最值； 4利用基本不等式或不等分析法
3、求最值例 1：求下列二次函数的最值：（1）求函数的最值322xxy解：4) 1(2 xy当时，有最小值，无最大值1xy4（2）求函数的最值322xxy)30( x解：4) 1(2 xy，对称轴为30 x1x 当12330有最大值时；当有最小值时yxyx例 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星 期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能 使利润最大？ 解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，xy为涨价时的利润，为降价时的利润1y2y则：)10300)(4060(1xxy优
4、派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137)60010(102xx6250)5(102x当，即：定价为 65 元时，（元）5x6250maxy )20300)(4060(2xxy)15)(20(20xx6125)5 . 2(202x当，即：定价为 57.5 元时，（元）5 . 2x6125maxy综合两种情况，应定价为 65 元时，利润最大练习：1某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以售出 400 件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件如何提高售价，才能在
5、半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高元，利润为元，xy 则：)20400)(2030(xxy)20)(10(20xx4500)5(202x当，（元）5x4500maxy答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润2某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元旅行社对超过 30 人的团给予优惠， 即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅 行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有人，营业额为元，x)30( xy则：)30(10800xxy)110(10xx30250)55(102x当，（元）55x30250maxy答：当旅行
6、团的人数是 55 人时，旅行社可以获得最大营业额例 3： 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价(元)与x 产品的日销售量(件)之间的关系如下表：y若日销售量是销售价的一次函数yx求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式；yx要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为bkxy则 解得，1525, 220kb kb 401 bk即一次函数表达式为40xy 设每件产品的销售价应定为元，x 所获销售利润为元wyxw)10( )40)(10(xx400502xxx（元）152030y（件）252010优派思！ you pass
7、！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137225)25(2x当，（元）25x225maxy答：产品的销售价应定为 25 元时，每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： 在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函 数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程3 （2006 十堰市）市“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30元/千克销售，那么每 天可售出 400 千克由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)yx (）存在如下图所示的
8、一次函数关系式30x试求出与的函数关系式；yx设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单 价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 根据 市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市 经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出x 答案) 解：设 y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000kbk kbb 之之之即一次函数表达式为100020 xy)5030( x yxP)20( )100020)(20(xx200001400202xx P 有最大值020 a当时，（元）35)20(214
9、00x4500maxP（或通过配方，也可求得最大值）4500)35(202xP 答：当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润 4500 元44804500)35(2041802x16)35(12 x31x34 或 36x394 （2006 年青岛市）在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售， 对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克） 25 24 23 22销售量 y（千克）2000250030003500（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的 图形，判断 y 与 x 之间的
10、函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？ 解：（1）由图象可知，y 是 x 的一次函数， 设 y=kx+b， 点（25，2000） ， （24，2500）在图象上， ，200025500,:25002414500kbk kbb 之之y=-500x+14500 （2）P=(x-13)y=(x-13)(-500x+14500)37744144142(500)37742(
11、500)29)(13(50022xxxxxx=-500(x-21)2+32000P 与 x 的函数关系式为 P=-500x2+21000x-188500， 当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润，最大利润为 32000 元5有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间， 但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市 场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，此后每千克活蟹的 市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹
12、死 去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元 (1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式； (2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关于 x 的函 数关系式 (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x, (2)由题意知：活蟹的销售额为(100010x)(30+x)元, 死蟹的销售额为 200x 元.Q=(100010x)(30+x)+200x=10x2+900x+30000. (3)设总利润为 W 元 则：W=Q100
13、030400x=10x2+500x =10(x250x) =10(x25)2+6250. 当 x=25 时，总利润最大，最大利润为 6250 元 答：这批蟹放养 25 天后出售，可获最大利润6(2008 湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府 又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农副产品，已 知这种产品的成本价为 20 元/千克市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销售价 (元/千克)有如下关系：=280设这种产品每天的销售利润为(元) (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？
14、最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克，该农户想要每天获得 150 元的销 售利润，销售价应定为多少元?优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137解：)802)(20()20(xxwxy)40)(20(2xx )80060(22xx200)30(22x 160012022xx 当，（元）30x200maxy(1)与之间的的函数关系式为；yx160012022xxy (2)当销售价定为 30 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 200 元(3) ，150200)30(22x25)30(2x（不合题意，舍去）28351x252x 答：该农户想要每天获得 15
