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1、基于订货数量折扣的基于订货数量折扣的 EOQ 模型模型模型开发立项书模型开发立项书2012 年年 05 月月 18 日日基于订货数量折扣的基于订货数量折扣的 EOQEOQ 模型模型1. 模型的产生背景模型的产生背景经济订货批量(EOQ),即 Economic Order Quantity 是固定订货批量模型的一种，可以用来确定企业一次订货（外购或自制）的数量。当企业按照经济订货批量来订货时，可实现订货成本和储存成本之和最小化。事实上，供应商往往根据订货数量向用户提供价格折扣，鼓励他们大量购买，而经济订货批量只是针对采购单价是常数的情形。基于订货数量折扣的EOQ 模型是基于 EOQ 模型建立起来
2、的，当用户面临供应商开出的不同订购数量的折扣时，该模型可以指导用户如何通过采购适合的数量，使总采购成本最低。2. 基本原理基本原理2.1 假设条件假设条件（1）不允许缺货；（2）即时到货；（3）需求是连续的均匀的；（4）每次的及不同数量的订货费不变；（5）不同的订货数量级对应不同的采购单价；（6）单位物资年库存成本不变。2.2 模型分析模型分析基于订货数量折扣的 EOQ 模型，大体上跟基本的 EOQ 模型一致。基本的EOQ 模型是相对很多次采购，单个采购价格而言，针对的是长远的采购决策；而本模型是着重考虑在确立基本的经济订货批量后，具体的订货数量要由数量折扣而定，针对的是单次的采购决策。基本的
3、思路是，先计算经济订货批量，然后代入不同单价，计算总采购费用，取最小者的订货数量。2.3 应用领域应用领域本模型主要应用对象与基本 EOQ 模型相一致的，如同上述的假设一样，在具体领域可以使生产制造企业，服务行业的零售业等涉及采购的企业。3. 建模过程建模过程3.1 模型假设模型假设假设条件如下：（1）订货量为 Q（2）每年需求为 D（3）每次订货费为 S（4）每年每单位库存成本为 H（5）单位物资的采购价格，以三种数量级为例，其中很明显 P1P2P3P(Q)= P1，0 Q Q1 P2，Q1 Q Q2 P3，Q2 Q)3.2 建模建模每年采购总成本=库存成本+订货费+物资成本TC = QH
4、+ + P(Q)D12D Q S画出 TC 随 Q 的函数图象，如图：QTC0Q1Q2Q*P1P2P3由于每种数量折扣的总成本公式只是相差常数 PD，因此三条总成本曲线是相互平行的，其最低点，就是对应的经济订货批量，都是是相同的。因此，在计算中，完全可以忽略价格 P 的影响，先计算出经济订货批量Q*，具体的推导过程此处不再详述，请参考经济订货批量模型推导。但是，Q*是否在 Q1，Q2之间，是不确定的。因此，这时就需要逐个进行计算。计算步骤如下：（1） 若 Q*Q2，那么 Q*对应的总成本就是最低的；否则，转入下一步；（2） 若 Q*Q1，那么计算：TC (Q*)= Q*H + + P2D12D
5、 Q * STC (Q2)= Q2H + + P3D12D Q2 S其中的最小者即为结果；否则，转入下一步；（3） 计算：TC (Q*)= Q*H + + P1D12D Q * STC (Q1)= Q1H + + P2D12D Q1 STC (Q2)= Q2H + + P3D12D Q2 S其中的最小者即为结果。求得合适的订货批量之后，可以计算每年的订货次数和订货周期：每年订货次数 N=年需求 D订货批量 Q （取整）订货周期 T=365每年订货次数 N（天）可以看到包含数量折扣的经济订货批量的计算不是一蹴而就的，但是这种计算方法是可以推广到任意多种的数量折扣的计算当中的。总结其简单规律如下：
6、 计算经济订货批量 Q*= 2DS H 将 Q*代入最高一个数量级，若满足则取 Q*，否则转入下一步； 将 Q*代入任意一个数量级，若 QiQ*Qi+1，则计算 TC(Q*)，TC(Qi+1)，TC(Qi+3)，TC(Qi+5). TC(Qn)，其中的最小者即为结果；否则，将Q*代入更小的一个数量级进行判断计算； 重复第步，直到得出结果为止。4. 实验操作步骤设计实验操作步骤设计（1）输入条件：物资年需求量，单位：件/年单位物资的年库存成本，单位：元/(件.年)单次订货费，单位：元/次不同数量级对应的折扣价格（2）输出结果：订货批量，单位：件/次每年订货次数，单位：次/年订货周期，单位：天采购
7、单价，单位：元采购总成本，单位：元（3）界面设计：利用 microsoft visual basic 6.0 对本模型的算法实施编程，并设计操作界面如下：5. 应用案例应用案例一家大医院的维修部每年使用大约 816 箱液体清洁剂。订货成本为 12 元，库存成本是每年每箱 4 元，新价目表表明，少于 50 箱的订货成本为每箱 20 元，50-79 箱的是每箱 18 元，80-99 箱的是每箱 17 元，更大的订货则是每箱 16 元。请确定最优订货量和总成本。解答：计算通常的经济订货批量：Q*= =70（箱）2DS H2 816 12 4画出不同的数量折扣的总成本函数图，大致如下：批量总 成 本0
8、50Q*=70P1P2P380100由于Q*=70 落在 50-79 之间，因此根据公式TC = QH + + P(Q)D12D Q S计算：TC(70)=7042+8161270+18816=14968（元）TC(80)=8042+8161280+17816=14154（元）TC(100)=10042+81612100+16816=13354（元）因此，最优的订货批量应该是 100 箱，总成本为 13354 元。6. 思考题思考题若模型中的单位库存成本 H 不是常数，而是百分比，求解模型的过程和结果还是不变吗？解答：如图QTC0Q1Q2Q2*P1P2P3Q1*当 H 不再是常数而是一个百分比
9、时，那么 H 将受到单价的影响，也即受到订货数量影响，因此，每个数量级的经济订货批量（如图中的最低点，黑点） ，不再相等。因此，应当对每一个数量级都计算一次经济订货批量，如果经济订货批量落在该数量级的折扣区间，则计算其总成本；否则，取最靠近该点的区间数字，计算其总成本。将所有的总成本进行比较，其中的最小者即为结果。改进其计算步骤如下： 计算经济订货批量 Q*= ；2DS H 对任意一个数量级，若 QiQ*Qi+1，则计算 TC(Q*)；若 Q*Qi，则计算 TC(Qi)；若 Qi+1Q*，则计算 TC(Qi+1)； 计算所有的数量级的总成本，进行比较，其中的最小者即为结果。参考文献参考文献1 钱颂迪.运筹学Z.清华大学出版社,2005.2 威廉.史蒂文森,张杰,张群.运营管理Z.机械工业出版社,2011.Q3*
