数形结合思想应用探究

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1、参评论文数形结合思想应用探究数形结合思想应用探究舞钢市第二高级中学舞钢市第二高级中学吴金耀吴金耀 2010 年年 10 月月 20 日日参评论文第 2 页共 9 页数形结合思想应用探究数形结合思想应用探究摘要：数形结合思想是重要的数学思想方法之一， “数”和“形”是事物本质的两个表现形式，理解并领悟这点是数学学习的重要方面。数形结合是解决数学问题的重要思想方法。关键词：数形结合、探究数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。数形结合是一种重要的数学思想，是我们解题的重要手段。

2、它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。一、数形结合思想的意义所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。 “数缺形，少直观；形缺数，难入微” ，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。具体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决问题的思想称数形结合思想。二、数形结合思想的原则1、等价原则等价原则是指“数”的代

3、数性质与“形”的几何转化是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。例 1.方程的实数根的个数为（）1 32sinXx参评论文第 3 页共 9 页A、3 个 B、5 个 C、7 个 D、9 个分析：图象法，作函数与的草图。1 3yx2sinyx由于两个函数均为奇函数，故只需要作的部分，0x 又因为 x8 时，2，故图形只需取就1 3x2sin x0,3行了（如图），当时，在1 8x 1 3111122sin8288内有一个交点。因此除原点外还有四个交点，再由奇偶性知有 9 个交点，(0,)2故选 D2、双向性原则双向性原则是指通过几何形象的直观性分析，进行代数计算的探

4、索。例 2.如果实数满足等式，那么的, x y22(2)3xyy x最大值是什么？解：设点在圆上，圆心为,( , )A x y22(2)3xy(2,0)C半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与相切，且切3y xAOAC点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =AOAky xCA3OC，所以 = ，所以 = =。2OA22231max( )y xtanAOC33、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁明了。例 3. 解不等式： 251xx解: 设，，即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上A5 2半支。而函数的

5、图象是一直线。解方程可求出抛物1yxyOx参评论文第 4 页共 9 页线上半支与直线交点的横坐标为 2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。 5 |22xx三、数形结合思想的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直22 1212()()xxyy0022|AxByCd A

6、B 线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2、由形到数的转换途径（1）解析法：建立适当的坐标系，引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角知识获得探求结果的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。四、数形结合在数学教学中的应用1、与不等式有关的问题参评论文第 5 页共 9 页应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义。例 4.设变量、、在区间中取值，试证：

7、xyz(0,1)(1)(1)(1)1xyyzzx分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量、、在区间中取值构造一个边长为 1 的正三角形。将这些关系统xyz(0,1)一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。解：如图，正三角形边长为 1，设点、分别在边、和ABC1A1B1CBCCA上，且有，则AB1ACx1CBy1BAz，11BCx 11CAz 11ABy ， 1 13(1)4AB CSxy 1 13(1)4CA BSyz1 13(1)4BACSzy+ 1 1AB CS 1 1BACS 1 1CA BSABCS3333(1)(1)(1)4444xyyzzx即，结

8、论得证(1)(1)(1)1xyyzzx2、与方程的根有关的问题应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。例 5、方程的实根个2121xxx数是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个分析：这道题若直观通过解 1 个BA1ACB1 C1xyo1yx221yxx参评论文第 6 页共 9 页3 次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出与的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。1yx221yxx故选 A3、与函数有关的问题例 6、求二元函数的最小值2229( , )()( 2)f u vuvuv分析：可将的表达式看( , )f u v作是两点、之间2( ,2)P

10、x| 741mOBO9xyyx222 yxOAyxBC参评论文第 7 页共 9 页5、在解析几何上的应用例题 8、设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上有1F2F22221xy ab点使且，则双曲线的离心率为（）A1290F AF o 12| 3|AFAFA、 B、 C、 D、5 210 215 25分析：利用双曲线的图形来反映数量之间的关系解：由已知12| 3|AFAF根据双曲线的定义：，12| 2AFAFa得12| 3 ,|AFa AFa在中，由勾股定理得12Rt AFF22294aac即双曲线的离心率 10 2cea6、在解决实际问题方面的应用在现实生活中我们常会遇到一些关于数

11、学方面的问题，此时若能对数学知识理解掌握好，巧用数形结合的思想，在现实生活中有些问题便迎刃而解。例 9、某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为 3 千元，2 千元。甲、乙两种产品都需要在 A、B 两种设备上加工，在每台 A、B 上加工甲产品所需要的时间分别为 1 小时、2 小时，加工一件乙产品所需工时分别为 2 小时、1 小时，A、B 两种设备每月有效使用OF1Ayx xF2OyxM4002yx5002 yx参评论文第 8 页共 9 页台时数分别为 400 和 500，如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品 x 件，加工乙产品 y 件，目标函数，线性32zxy约束条件为,作

12、出可行域，如右图所示阴影部分 0,50024002yxyxyx把变形为平行直线系由图可知32zxy3:22zl yx 当经过可行域上点时，截距最大. lM2z解方程组得（200，100） 50024002 yxyxM即max3 2002 100800z 当生产甲产品 200 件，乙产品 100 件时，可使收入最大，最大为 80万。综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长

13、补短” 。通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平。主要参考文献：1 欧阳维诚,张垚,肖果能等数学思想方法选讲编著长沙.：湖南教育出版社，2000.2 张雄，李得虎. 数学方法与解题研究. 等教育出版社.参评论文第 9 页共 9 页3 张连延. 谈数形结合思想在解题过程中的巧用, 学科探究.4 康小玲等. 数形结合法J数学教学通讯，2002（05）.5 袁小明. 数学思想史导论M 南宁：广西教育出版社，1991. 2010 年 10 月 20 日

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