微分中值定理 导数应用

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1、第四章第四章 微分中值定理微分中值定理 导数应用导数应用本章内容引入：本章内容引入：中值定理是微分学中的最重要的定理，这是连续可导函数所具有的一些重 要性质，它在用导数研究函数以及实际应用中是重要的理论基础。 44。1 1 微分中值定理微分中值定理 教学目标教学目标了解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，理解这些定理之间的关系，会利 用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式） 。 重点和难点重点和难点中值定理和中值定理之间的关系 授课内容授课内容罗尔定理：罗尔定理：若函数满足在上连续，在内可导，则有)(xf,ba),(ba),()(bfaf使。),(ba0)(f从几何意义理解罗尔中值定理的意

2、义。 注意：（1）定理中的条件是充分的，但非必要的。（2）导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）举例：求罗尔定理结论中的。P1341拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则有使)(xf,ba),(ba),(ba。abafbff)()()(拉格朗日定理是罗尔定理的推广。 从拉格朗日中值定理的几何意义，理解拉格朗日中值定理的意义。推论推论 1：若函数在区间内可导，且，则函数在区间内恒等于一个)(xfI0)( xf)(xfI常数。推论推论 2：若函数和在区间内的导数处处相等，即，则函数)(xf)(xgI)()(xgxf和在区间内仅相差一个常数。)(xf)(xgI举例：

3、求拉格朗日中值定理结论中的。P1342拉格朗日中值定理的应用：证明不等式 举例：P134例 1小结：小结：利用格朗日中值定理证明不等式，首先要设一个恰当的函数，然后将恰当地)(f放大和缩小，从而得到所要证明的不等式。柯西中值定理：柯西中值定理：若函数在上连续，在内可导，且则有)(),(xFxf,ba),(ba0)(F使。),(ba)()( )()()()( gf aFbFafbf 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。 举例：例 5 几个中值定理之间的关系； 小结小结中值定理刻划函数在区间上的增量与函数在区间内的某一点的导数的关系，要了 解三个中值定理意义，知道这些定理之间的关系。 练习练习P

4、1344；11、 （1） 作业作业P134104.24.2 洛必达法则洛必达法则 教学目标教学目标熟练掌握洛必达法则和各种未定式的定值方法 重点和难点重点和难点洛必达法则和各种未定式的定值方法 授课内容授课内容两种基本的未定式：两种基本的未定式： ,00洛必达法则：洛必达法则：若函数和满足：)(xf)(xg)()()(lim)()(lim()()(lim)3(0)()()2(; 0)(lim, 0)(lim) 1 (0000000或则）或内可导且在Axgxf xgxfAxgxfxgxUxgxfxxxxxxxxxx只证明型未定式的洛必达法则，型未定式不作要求。00 注意洛必达法则的适用条件。 举

5、例：例 1例 3注意：（1）洛必达法则中的条件（1）改为则,)(lim0 xf xx,)(lim0 xg xx为型未定式，则法则仍成立。（2）法则中的，改为，只要0xx 0xx0xxxxx将法则中的条件（2）作相应的修改，法则仍适用。（3）若还是型或型未定式，可对再用一次洛必达法则，依次类)()(limxgxf 00 )()(limxgxf 推。 举例：例 4例 6注意只有型或型未定式才能用洛必达法则。00 对于型常将其化为分式而变成或，对于，等又经常通过将其变成指000 00001数函数或取对数化为型；至于型，一般通过将其通分或有理化后根据情况处理。0举例：例 7例 9小结小结利用洛必达法则

6、可以得到，及，等各种未定式00 000001的定值方法，在计算时要注意洛必达法则的适用条件。并且洛必达法则时能同时与其他求 极限的方法结合使用，将使计算简捷。 举例：例 10 注意：注意：洛必达法则失效的情形。 举例：P1392；3 练习练习P1391、 （1）（4） 作业作业P1391、 （9） ；（；（13） ；（；（14）33。3 3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 教学目标教学目标熟练掌握函数单调性的判别方法；熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解 函数极值与最值的关系与区别。 重点和难点重点和难点函数单调性的判别方法和求极值的方法 授课内容授课内容 一、函数单调性的判别法一、函数

7、单调性的判别法定理定理 1（判别单调性的充分条件）：（判别单调性的充分条件）：在函数可导的区间内：)(xfI（1）若，则函数单调增加；0)( xf)(xf（2）若，则函数单调减少；0)( xf)(xf讨论函数单调性的一般程序： （1）确定函数的定义域 （2）确定函数增减区间的可能分界点（驻点或导数不存在的点） （3）判别函数的增减区间 举例：例 1例 5 二、用函数的增减性与极值证明不等式二、用函数的增减性与极值证明不等式要证明在区间上有，只要利用函数单调性与极值判别定理证明),(ba)()(xgxf即可。0)()()(xgxfxF举例：例 6三、函数的极值三、函数的极值 1、极值的定义（P1

8、54） 2、极值的求法定理定理 1（极值存在的必要条件）：（极值存在的必要条件）：若函数在点处可导，且取得极值，则)(xf0x0)( xf注意：（1）驻点不一定是极值点。 （2）函数不可导点也可能是极值点。定理定理 2（第一充分条件）：（第一充分条件）：设函数在内连续且可导（可以不存在） ；)(xf)(0xU)(0xf 。xfxxfxxxxfxxx的极大值点是函数则时当时若当)(0)(),(, 0)(),() 1 (00000。xfxxfxxxxfxxx的极小值点是函数则时当时若当)(0)(),(, 0)(),()2(00000求函数极值的一般步骤：（P156）（1）确定函数的连续区间；)(x

9、f（2）求出函数的可能极值点（驻点和不可导点） ；)(xf（3）判别可能取极值的点是否为极值点；（4）若是极值点，求出函数的极值。0x)(0xf举例：例 1定理定理 3（第二充分条件）：（第二充分条件）：设函数在点二阶可导且,则)(xf0x0)(0 xf0)(0 xf是函数的极值点：0x)(xf。xfxxf的极大值点是函数则若)(, 0)() 1 (00 。xfxxf的极小值点是函数则若)(, 0)() 1 (00 举例：例 2 注意：注意：定理 2 和定理 3 都是判别极值点的充分条件，定理 2 对驻点和导数不存在的点均适 用，定理 3 用起来比较方便，但对于下述两种情况不适用：（1）导数不

10、存在的点；（2）当，时点可能是极值点，也可能不是极值点。0)(0 xf0)(0 xf0x四、最大值最小值问题四、最大值最小值问题假设函数在上连续，则求最大值和最小值的一般程序：)(xf,ba首先求出函数在开区间内所有可能的极值点（即驻点和导数不存在的点）的函数值，),(ba再求出区间端点的函数值和，比较这些值，其中最大者就是在上的)(af)(bf)(xf,ba最大值，最小者就是在上的最小值。)(xf,ba举例：例 3例 7小结小结作为导数与微分的重要应用是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值，这在解决实际问题中是非常重要的。 练习练习P1523、 （4） ；5、 （1） ；P1621、 （4

11、） ；4、 （1） 作业作业P1523、 （5） ；5、 （2）33。4 4 曲线的凹凸点与拐点曲线的凹凸点与拐点 教学目标教学目标熟练掌握曲线凹凸性判别方法。 重点和难点重点和难点曲线凹凸性判别方法和求曲线拐点与渐近线的方法。 授课内容授课内容 定义（凹凸）：定义（凹凸）：P134定理定理 1（判别凹凸性的定理）：（判别凹凸性的定理）：在函数二阶可导的区间内：)(xfI（1）若，则曲线凹凹0)( xf)(xfy （2）若，则曲线凸凸0)( xf)(xfy 举例：P150例 7例 8定义（拐点）：（定义（拐点）：（P151P151）定理定理 2 2（拐点存在的充分必要条件）：（拐点存在的充分必

12、要条件）：设函数在内连续且二阶可导，若在点)(xf)(0xU的左、右邻域内，的符号相反，则曲线上的点是曲线的拐点。0x)(xf )(,(00xfx确定曲线确定曲线的凹凸与拐点的一般步骤：的凹凸与拐点的一般步骤：)(xfy （1）确定函数的连续区间；)(xfI（2）在区间内求出使和不存在的点；I0)( xf)(xf （3）由上述求出的点将区间分成若干个部分区间，在各个部分区间讨论的符号，I)(xf 便可确定曲线在相应部分区间内的凹凸，同时确定曲线是否存在拐点，并求出拐点。 上述过程可列表表示。 举例：P152例 1例 2小结小结本节研究了曲线的凹凸性以及曲线凹凸性判别方法，求曲线拐点的方法。 练

13、习练习P1539、 （1） 作业作业P1539、 （3） ；（；（4）33。5 5 函数作图函数作图 教学目标教学目标掌握函数作图的基本步骤和方法；会作某些简单函数的图形。 重点和难点重点和难点函数作图的基本步骤和方法。 授课内容授课内容 利用函数或曲线的各种性态如单调性、极值、凹凸性、拐点，再根据渐近线情况，然后描点作图就能作出较为准确的函数图形。 综合起来作函数图形的一般步骤为： （1）确定函数的定义域、间断点，以明确图形的范围； （2）讨论函数的奇偶性、周期性，以判别图形的对称性、周性； （3）考察曲线的渐近线，以把握曲线伸向无穷远的趋势； （4）确定函数的单调区间、极值；确定曲线的凹凸

14、区间及拐点，以掌握图形的大致形状； （5）选择曲线的若干关键点，特别是曲线与坐标轴的交点等，方便描点定位； （6）综合以上分析，描点作出函数的图形。 举例：例 1例 2小结小结利用微分学的知识了解了函数或曲线的各种性态后，再描点作图就能作出较为准 确的函数图形。练习练习P1691 作业作业P169236 泰勒公式泰勒公式 教学目标教学目标掌握泰勒公式和麦克劳林公式 重点和难点重点和难点泰勒公式 授课内容授课内容 一、泰勒公式一、泰勒公式 用一个多项式来表示任一个函数，不仅在计算上具有价值，而且具有重要的理论的意义。泰勒中值定理：泰勒中值定理：若函数在含有的开区间内具有直到阶的导数，则对)(xf0x),(ba) 1( n中的任一点，有),(bax)()(!)()(! 2)()()()(00)( 2 00 000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn L 泰勒公式其中其中 拉格朗日余项)()()!1()()(01 0)1( 之间与在xxxxnfxRnnn nn xxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)( 2 00 000 L泰勒多项式函数函数的泰勒公式在的泰勒公式在=0 时为时为)(xfx)(!)0( ! 2)()0()0()()( 20xRxnfxxfxffxfnn