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1、p. 1 交通大學交通大學 李威儀李威儀 振盪振盪 ( Oscillatory Motion ) p. 2 交通大學交通大學 李威儀李威儀 簡介簡介 當一個系統從它的穩定平衡當一個系統從它的穩定平衡 ( stable equilibrium ) 狀態產生擾動，並往復狀態產生擾動，並往復 改變改變, 成為一種週期性的變化成為一種週期性的變化, 這個系統便是在這個系統便是在振盪振盪 ( oscillate ). 這一章主要討論機械式的振盪這一章主要討論機械式的振盪 電磁場的振盪電磁場的振盪 電壓電流的振盪電壓電流的振盪 非機械式的振盪非機械式的振盪 常見的例子常見的例子 : 吉他弦的振動吉他弦的振
2、動 鼓皮的振動鼓皮的振動 單擺的運動單擺的運動 機械式的振盪機械式的振盪 ( Mechanical Oscillation ) p. 3 交通大學交通大學 李威儀李威儀 彈簧的特性彈簧的特性 ( Characterization of Spring ) 若想要維持物體保持靜止不動若想要維持物體保持靜止不動 由實驗得知由實驗得知 Fapplied = kx , k : spring constant Fsp + Fapplied = 0 Fsp = Fapplied = kx p. 4 交通大學交通大學 李威儀李威儀 頻率頻率 ( Frequency )與與 週期週期 ( Period ) 頻率
3、頻率 : u u ( Hz ) , 週期週期 : T ( sec. ) , u u = 1/T 考慮一個往逆時鐘方向作等速率圓周運動的粒子考慮一個往逆時鐘方向作等速率圓周運動的粒子 x = r cosq q , y = r sinq q q q = w w t ( assume t = 0 , q q = 0 ) x = r cos w wt , y = r sin w wt w w = 2 p up u x = r cos2puput , y = r sin2puput x y q q w w r p. 5 交通大學交通大學 李威儀李威儀 振幅振幅 ( Amplitude ) 與與 相位角相
4、位角 ( Phase Angle ) 這一節主要是介紹這一節主要是介紹簡諧振盪簡諧振盪 ( Simple Harmonic Oscillation, or Simple Harmonic Motion, SHM ) 的運動公式的運動公式 ( 假設沒有摩擦力假設沒有摩擦力 ) A : 振幅振幅 ( amplitude ) x : 相對於平衡位置的位移距離相對於平衡位置的位移距離 ( displacement from equilibrium position ) x(t) : A sinw wt , w w : rad/sec , 角頻率角頻率 ( angular frequency ) w w
5、 = ( 1/T ) 2p p = 2p up u x(t) = A sin2p p(t/T) more general : x(t) = A sin ( w wt + F F ) Simple Harmonic Motion, SHM 振幅振幅A是從平衡是從平衡 點的最大位移點的最大位移, 而而 不是總擺動不是總擺動 平衡線平衡線 質量在平衡質量在平衡 位置位置 http:/hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html p. 6 交通大學交通大學 李威儀李威儀 Simple Harmonic Motion : x(t) = A sin ( w
6、 wt + F F ) w wt + F F : 相位相位 ( phase ) F F : 相位角相位角 ( phase angle ) when w wt = F F x(t) = 0 p. 7 交通大學交通大學 李威儀李威儀 彈簧的振盪彈簧的振盪 ( Oscillation of a Spring ) kx = m d2x/dt2 If x(t) = A sin(w wt+F F) is the solution : dx/dt = A d sin(w wt+F F) / dt = Aw w cos(w wt+F F) d2x/dt2 = Aw w d cos(w wt+F F) / dt
7、 = -Aw w2 sin(w wt+F F) - kA sin(w wt+F F) = - mw w2A sin(w wt+F F) k = mw w2 Fsp = ma , a = dv/dt = ( ) = d dx d2x dt dt dt2 w w = k/m , T = 2p p/w w = 2p p m/k independent of A m T k T p. 8 交通大學交通大學 李威儀李威儀 from 2 boundary conditions decide A and F F ( e.g. x t=0 , t=0 ) dx dt dx/dt = vx = d Asin(w
8、 wt+F F) / dt = Aw w cos(w wt+F F) Different B.C. different A and F F x(t) = A sin ( w wt + F F ) Ex. B.C. x t=0 = xo t=0 = vx(t=0) = 0 dx dt cosF F = 0 F F = p p/2 Asin(p p/2) = A = xo B.C. x(t=0) = A sinF F = xo dx/dt t=0 = Aw w cosF F = 0 ( 彈簧拉到彈簧拉到 xo 的位置再放開的位置再放開 ) p. 9 交通大學交通大學 李威儀李威儀 對一個簡諧振盪的
9、物体而言對一個簡諧振盪的物体而言 : (1) x(t) is a sinusoidal function x(t) = A sin( w wt + F F ) (2) A ( amplitude ) = constant (3)(3) u u ( frequency of oscillation ) and T ( period ) independent of A (4) vx = dx/dt = w wA cos(w wt+F F) vmax = w wA at x=0 = A k/m , for a block-spring system ( x and vx are 90o out o
10、f phase ) (5) ax = dvx / dt = - w w2A sin(w wt+F F) = - w w2x amax = Aw w2 at x = xmax = + A ( x and a are 180o out of phase ) p. 10 交通大學交通大學 李威儀李威儀 p. 11 交通大學交通大學 李威儀李威儀 振盪的能量振盪的能量 ( Energy of Oscillation ) 假設處在平衡位置及狀態下時假設處在平衡位置及狀態下時, 系統位能為零系統位能為零 : assume Ep = 0 at equilibrium 然後以等速率移動物塊然後以等速率移動物塊
11、 在壓縮或伸張彈簧的過程中所作的功在壓縮或伸張彈簧的過程中所作的功 : W = F s = D DE = D DEk + D DEp = D DEp dW = F dx = F dx W = F dx = k x dx = k x dx = kx2 x 0 x 0 x 0 Ep ( spring ) = kx2 p. 12 交通大學交通大學 李威儀李威儀 Ep = kx2 = kA2 sin2(w wt+F F) Etotal = Ep + Ek = kA2 sin2(w wt+F F) + kA2 2 cos2(w wt+F F) = kA2 , 一個常數一個常數 Ek = m vx2 = m w w2A2 cos2(w wt+F F) = kA2 cos2(w wt+F F) ( w w = k/m )
