《构造直角三角形,提高学生思维水平》由会员分享，可在线阅读，更多相关《构造直角三角形,提高学生思维水平（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、构造直角三角形，提高学生思维水平构造直角三角形，提高学生思维水平摘要：许多形式各异的几何图形，他们大都有着内在的联系，具有相同或相似的基本模型，在教学中，教师有意识地让学生学会提炼基本图形，并运用基本图形解决问题，使复杂问题简单化，这既有利于培养学生“透过现象看本质”的分析问题能力又可以开拓学生的思维空间，提高学生解决问题的能力关键词：直角三角形；辅助线直角三角形是最常见的三角形。在历年的中考题中都有直角三角形的身影，最常见的不外乎三角函数的实际运用，也有直接的关于直角三角形的题目而很多常见的图形证明与直角三角形有关，有些是明显的存在直角三角形，有些是隐藏的存在直角三角形。很多有难度的题目，便
2、是将隐藏的直角三角形找出来解决问题的一、网格中的直角三角形一、网格中的直角三角形例 1、在正方形网格中，AOB 的位置如图例 1 所示，则 tan AOB 的值为 图例 1 图例 1分析：该题是求出三角函数，而对初中学生来说，求三角函数，只能在直角三角形中去找出对应的边；在这个正方形网格中需要找到射线 OA，OB所经过的格点，才能求出具体的值根据分析，不难找出图例 1-2 中的直角三角形，并求出 tan AOB=1 2中考试题中，画旋转，平移，对称图形的试题都放在网格中让考生进行作图，网格有清楚明了的特点，方便看出长度和特殊的角度。做表格类题目，只要抓住格点，就能解决具体问题。在网格中，可以根
3、据需要画出直角三角形，使题目一目了然二、平行线中的直角三角形二、平行线中的直角三角形例 2、 （2010 年甘肃兰州）如图，直角梯形中，ABCD，将腰以为中心逆时针旋转 90至，连2ADBCABBCAD ，CDDDE接，的面积为 3，则 BC 的长为 AECE、ADE分析：此题是梯形的一腰（线段）绕梯形的一个顶点逆时针旋转 90问题，解答该题的关键是要抓住线段旋转以后长度不变这个性质，再从三角形的面积入手，联想作三角形，梯形的高，构造两个直角三角形，从而解决问题解：如图例 2-1，延长 AD，过 E 点做 EMAD 垂足为 M，过 C 点做 CNAD垂足为 N. EMD=CND=EDC=90，
4、 EDM=NCD. ED=DC， EDMCDN. 的面积为 3，ADE EM=DN=3，EDCBA例 2EDCBA例 2-1MN BC=AD+DN=5.例 3 （2010 年湖北咸宁）如图例 3，已知直线 ，相邻两条1l2l3l4l平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sin分析：表面上不能直接找到两个三角形全等，但我们可以根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个全等的直角三角形，解决问题解：如图例 3-1，过点 D 作直线，4EFl交 于点 F，1l则90CEDDFA 四边形 ABCD 是正方形， 90 ,ADCADCD ,DCEADF 可得,DC
5、E ADF 相邻平行线之间的距离是 1， 1,2,5.DFAFDEAD 15sin55DF AD例 3 变式直线 ，相邻两条平行直线间的距离都相等，1l2l3l4l5l如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，且AB=3AD，则o90ABC= tanABCDA例 33l2l1l4lABCD A例 3-11l3l2l4lFEABCD例 3 变式2l1l3l4l5lE ABCD例 3 变式-12l1l3l4l5lF分析：同上根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个相似的直角三角形，解决问题解：如图例 3 变式-1，过点 D 作直线，交 于点 F，过点 B 直线1DFl1l，交 于点 E1BEl
6、1l则90BEADFADAB o可得,ABE AFD AB=3AD， 相邻平行线之间的距离是 1， AE=3 3tan4AE BE平行线实际是弱化了的网格，但也是更细化了的网格，方便构造直角三角形。在平行线中构造直角三角形是很多考题中的重要方法。有些试题的设置虽然省略了关键部分，模糊了基本图形的轮廓，但是学生只要抓住改基本图形特征的方法，通过添加辅助线，让直角三角形显现出来，问题就得以顺利解决三、基本模型下的直角三角形三、基本模型下的直角三角形基本模型：基本模型：浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册“1.5 三角形全等的条件”课内练习：已知：如图，ABBD 于点 B ，EBBD 于点
7、 D, ACEC 于点 C，点 C 在线段 AB 上，且 AC=CE.求证:BD=AB+DE.BCDAE证明：根据“ABBD，EBBD， ACEC, AC=CE” ，证得ABCCDE.有 AB=CD,BC=DE.所以 BD=BC+CD=AB+DE.现将满足“B=ACE=D=90,AC=CE”这一条件的两个三角形成为基本模型。其中将“B=ACE=D=90”弱化成“B=ACE=D=” ，或者将“AC=CE”删除，会出现一线三等角的模型近几年的中考试卷，命题者运用该基本模型及其衍生模型，编制出一批构思巧妙、立意新颖的好题.其中就有将隐藏的直角三角形用辅助线构造出来，体现出基本模型，再用基本模型解决的
8、题目例 4（2011 年绍兴） 、抛物线与 y 轴交于点 A，顶点为3) 1(412xyB，对称轴 BC 与 x 轴交于点 C（1）如图 1，求点 A 的坐标及线段 OC 的长； （2）点 P 在抛物线上，直线 PQBC 交 x 轴于点 Q，连结 BQ 若含 45角的直角三角板如图 2 所示放置，其中，一个顶点与点 C重合，直角顶点 D 在 BQ 上，另一个顶点 E 在 PQ 上求直线 BQ的函数解析式； 若含 30角的直角三角板的一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上，另一个顶点 E 在 PQ 上，求点 P 的坐标分析： 中考试题中的二次函数题目都与基本几何图形结合在一起，而
9、将二例 5 图 1Cxy BAOxyCBA D EPQO例 5 图 2次图形退去，实际上就是几何图形的知识点，三角形，平行四边形的问题，2011 年绍兴中考卷也是如此。考查的是全等三角形、相似三角形和二次函数的知识，如果能够找出隐藏的全等三角形、相似三角形，那么这道题目就能迎刃而解（1）把 x=0 代入抛物线确定点 A 的坐标，求出对称轴得到 OC 的长（2）由CDE 是等腰直角三角形，分别过点 D 作 x 轴和 PQ 的垂线，通过三角形全等得到DQO=45，求出点 Q 的坐标，然后用待定系数法求出BQ 的解析式分点 P 在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q 的坐标，然后代入抛物线
10、求出点 P 的坐标解：（1）把代入得 . 0x 21(1)34yx 11(0,)4A为对称轴，.BC(1,3)B.1OC （2）如图 2-1，过点 D 作 DMx 轴，交 x 轴于点 M,过点 D 作 DNPQ,交 PQ 于点 NPQx 轴,四边形 MQND 为矩形，NDM=CDE=90, NDE=CDM,DN=DM, DCMDEN,四边形 MQND 为正方形， DQC=45，BCQ 为等腰直角三角形， CQ=BC=3，OQ=4， 可以求得直线 BQ 的函数解析式为4yx NMQPEDyxOCB A图 2-1当点 P 在对称轴的右侧时，如图 2-2，过点 D 作 DMx 轴，交 x 轴于点 M
11、，过点 D 作 DMPQ，交 PQ 于点 N，设点 Q(m，0)，同上可得NDE=CDM, DCMDEN,CDDE= DMDN, DN=MQ,CDDE= DMMQ， 又PQBC, DMMQ= BCCQ， CDDE=3(m-1)，当DCE=30时， 即，得点.331m31m 19( 31, )4P当DCE=30时， 即，得点.33 13m3 31m 215(3 31,)4P当点 P 在对称轴的左侧时，由对称性得：点，点39(31, )4P 415( 3 31,)4P 综上所述：点，点，点，点19( 31, )4P215(3 31,)4P39(31, )4P 415( 3 31,)4P 该题很好的
12、利用三角尺，将基本模型与衍生模型结合在同一图形背景中， 需要学生从整体图形中寻找基本模型和衍生模型，构造出直角三角形，再应用 全等三角形和相似三角形性质许多形式各异的几何图形，他们大都有着内在的联系，具有相同或相似的 基本模型，在教学中，教师有意识地让学生学会提炼基本图形，并运用基本图 形解决问题，使复杂问题简单化，这既有利于培养学生“透过现象看本质”的 分析问题能力又可以开拓学生的思维空间，提高学生解决问题的能力 近年来，各地中考数学试题新颖性、灵活性越来越强，而数学考试实际上 就是考查学生的解题能力，因此，解题方法是学生必须领会的 孙子兵法上NMQPEDyxOCB A图 2-有一句名言：“知己知彼，百战不殆” ，对于这一类将隐含的直角三角形抓出来， 用以解决题目的题型也是学生必须所“知”的参考文献：参考文献：徐违建一个基本图形在中考试题中的应用：J中国数学教育（初中版） ，2011(5):19-21
