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1、导数在高考数学试题中的应用导数在高考数学试题中的应用1 1、知识点分析知识点分析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具，在高考中有相当大的比重。通过对历年各省高考数学试题的分析，高考中导数年年都会考到，从导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数，两个函数的和、差、积、商基本导数公式复合函数求导等各个方面来考查，并通过导数来研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数部分作为新教材中的新增内容,导数是一个很好的工具,应用十分广泛。通过 总结分析研究今年各省高考试题，近几年的高考也逐年加大对导数问题的考查力度,导数的应用为解决数学问题提供了新的思路,新的方法和途径,
2、拓宽了函数应用的领域,成为中学数学的一个新的亮点.因此,在探讨函数的单调性、极值(最值)、不等式以及解析几何问题等有关问题时,要充分发挥导数的工具性作用,优化解题策略、简化运算。因此在解决高考中遇到的与导数相关问题时，我们必须熟悉并掌握导数的相关知识：i）了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念 ii)了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数及复合函数的导数。iii）导数与函数的单调性的关系。2 2、试题考点分析试题考点分析题
3、型一、利用导数研究函数的单调性、极值、最值题型一、利用导数研究函数的单调性、极值、最值1. （湖南理 8）设直线xt与函数2( ), ( )lnf xxg xx的图像分别交于点,M N，则当|MN达到最小时t的值为（ ）A1 B1 2 C5 2D2 2【答案】D【解析】由题2|lnMNxx，(0)x 不妨令2( )lnh xxx，则1( )2h xxx，令( )0h x 解得2 2x ，因2(0,)2x时，( )0h x ，当2(,)2x时，( )0h x ，所以当2 2x 时，|MN达到最小。即2 2t 。2、 （广东理 12）函数32( )31f xxx在x 处取得极小值.2)(),2 ,
4、 0(), 2(),0 ,(:)(),2(363x(x):2处取得极小值在递减区间为的单调递增区间为解析 xxfxfxxxf3、 （湖北理 21） （）已知函数( )ln1f xxx，(0,)x，求函数( )f x的最大值。解：（）( )f x的定义域为(0,)，令/1( )101fxxx ，( )f x在(0,1)上递增，在(1,)上递减，故函数( )f x在1x 处取得最大值(1)0f。4.（重庆理 10）设 m，k 为整数，方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根，则 m+k 的最小值为 55.（重庆理 5）下列区间中，函数( )f x=ln(2)x 在其上为增函数的是 （A）
5、 （-,1 （B）41,3 （C）30,2 （D）1,2【答案】D5.（广东文 19） 设0a,讨论函数 xaxaaxxf)1 (2)1 (ln)(2的单调性解：函数 f(x)的定义域为（0，+）221212122 (1)2(1)1( ),112 (1)2(1)1012(1)()3 10,( )23 (1)(31)(1)(31)110,22 (1)22 (1)0( )0,( )(0,)(,)aa xa xfxxaaa xa xaaafxaaaaxxaaaaaaxxxxfxf xxx 00，知0122 axax在 R 上恒成立，因此, 0) 1(4442aaaa由此并结合0a，知. 10 a3.
6、（天津文 16）设函数 1f xxx对任意1,x， 0f mxmf x恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】, 1 【解析】解法 1显然0m ，由于函数 1f xxx对1,x是增函数，则当0m 时， 0f mxmf x不恒成立，因此0m 当0m 时，函数 h xf mxmf x在 1,x是减函数，x)21,(21)23,21(23),23()(xf +00+)(xf极大值极小值因此当1x 时， h x取得最大值 11hmm，于是 0h xf mxmf x恒成立等价于 h x1,x的最大值0，即 110hmm，解10,0,mm m 得1m 于是实数m的取值范围是, 1 解法 2然0m ，由于函数
7、 1f xxx对1,x是增函数，则当0m 时， 0f mxmf x不成立，因此0m 2222112120mmm xmf mxmf xmxmxmxmxxmxmx ，因为1,x，0m ，则222210m xm ，设函数 22221g xm xm ，则当1,x时为增函数，于是1x 时， g x取得最小值 211gm解 2110,0,gmm 得1m 于是实数m的取值范围是, 1 解法 3因为对任意1,x， 0f mxmf x恒成立，所以对1x ，不等式 0f mxmf x也成立，于是 10f mmf，即10mm，解10,0,mm m 得1m 于是实数m的取值范围是, 1 4.（天津理 16）设函数 2
8、1f xx对任意3,2x， 2414xfm f xf xf mm恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】33,22 U 【解析】解法不等式化为 21440xf xf mfm f xm，即222222 211441440xxmm xmm ，整理得22 2114230mxxm，因为20x ，所以2 2212314xmmx，设 223xg xx，3,2x于是题目化为 2 2114mg xm，对任意3,2x恒成立的问题为此需求 223xg xx，3,2x的最大值设1ux，则203u函数 232g xh uuu在区间20,3上是增函数，因而在2 3u 处取得最大值242 2833933h ，所以 2 ma
9、x218143muxm，整理得4212530mm，即2243310mm，所以2430m ，解得3 2m 或3 2m ，因此实数m的取值范围是33,22m U 解法 2同解法 1,题目化为 2 2114mg xm，对任意3,2x恒成立的问题为此需求 223xg xx，3,2x的最大值设23tx，则6,t 244 9696tg xh ttttt因为函数9tt在3,上是增函数，所以当6t 时，9tt取得最小值362从而 h t有最大值48 33662 所以 2 max218143mgxm，整理得4212530mm，即2243310mm，所以2430m ，解得3 2m 或3 2m ，因此实数m的取值范
10、围是33,22m U 解法 3不等式化为 21440xf xf mfm f xm，即222222 211441440xxmm xmm ，整理得22 2114230mxxm，令22 21( )1423F xmxxm由于 030F ，则其判别式0 ，因此 F x的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使( )0F x 对任意3,2x恒成立，必须使3 2F为最小值，即实数m应满足 2 22 21140;30;2 23 122 14mmFmm 解得23 4m ，因此实数m的取值范围是33,22m U 解法 4(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意3,2x， 2414xfm f xf xf mm恒成
11、立，则对3 2x ，不等式 2414xfm f xf xf mm也成立，把3 2x 代入上式得 233144222fm fff mm，即222 29911 44144444mmmm ，因为240m ，上式两边同乘以24m，并整理得4212530mm，即2243310mm，所以2430m ，解得3 2m 或3 2m ，因此实数m的取值范围是33,22m U 5.（北京理 13）已知函数32,2( ) (1) ,2xf xx xx ，若关于 x 的方程( )f xk有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_.解： 2( )(2)f xxx单调递减且值域为(0,1，3( )(1) (2)f xxx
12、单调递增且值域为(,1)，( )f xk有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（0,1） 。考到此类型题目的其他省份：北京理 18 北京文 18 福建文 22总结：本类题目考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之总结：本类题目考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值问题，来求解不等式，考查运算能力，综间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值问题，来求解不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力合运用知识分析和解决问题的能力. .题型四：导数与不等式的综合题型四：导数与不等式的综合1.（江西理 4）设xxxxfln42)(2，则0)(xf的解集为（）A. ), 0( B. ), 2()0 , 1(UC. ), 2( D.)0 , 1(【答案】C解： )(xf定义域为), 0( ，又由0) 1)(2(2422)(xxx xxxf，解得01x或2x，所以0)(xf的解集), 2( 2、 （全国理 2）下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是 （A）3yx(B) 1yx（C）21yx (D) 2xy【答案】B3.（辽宁文 20）设函数)(xf=x+ax2+blnx，曲线 y
