几何应用题

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1、九几何应用题几何应用题几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类 题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三） 折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽 象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思， 解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。 一、三角形在实际问题中的应用一、三角形在实际问题中的应用 例 1某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ACB=90，AC=80 米，BC=60 米。 （1）若入口 E 在边 AB 上，且 A，B

2、 等距离，求从入口 E 到出口 C 的最短路线的长； （2）若线段 CD 是一条水渠，且 D 点在边 AB 上，已知水渠的造价为 10 元/米，则 D 点在距 A 点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题 首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个 概念。 1E 点在 AB 上且与 AB 等距离，说明 E 点是 AB 的中点，E 点到 C 点的最短路线即为线段 CE。2水渠 DC 越短造价越低，当 DC 垂直于 AB 时最短，此时 造价最低。本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。 解：（1）由题意知，从入口 E

3、到出口 C 的最短路线就是 RtABC 斜边上的中线 CE。在 RtABC 中，AB=（米） 。10060802222 BCACCE=AB=100=50（米） 。21 21即从入口 E 到出口 C 的最短路线的长为 50 米。 （3）当 CD 是 RtABC 斜边上的高时，CD 最短，从而水渠的造价最低。CDAB=ACBC，CD=米） 。(481008060 ABBCACAD=64（米） 。所以，D 点在距 A 点 64 米的地方，水渠的造价22224880 CDAC最低，其最低造价为 4810=480 元。 例 2一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5 米，面积为 1.5 平方米

4、，要把它加工 成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图 1，图 2 所示， 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。 （加工损耗忽略不计，计算结 果中的分数可保留） 。BACDE分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利 用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。 解：由 AB=1.5 米，SABC=1.5 平方米，得 BC=2 米.设甲加工的桌面边长为米，DE/AB，RtCDERtCBA ,，即，解得。如图，过点ABDE CBCD5 . 12 2xx 76xB 作 RtABC 斜边 AC 的高 BH，交 DE 于 P，并 A

5、C 于 H。由 AB1.5 米，BC2 米，平方米，C2.5 米，BH1.2 米。设乙加工的桌面边长为 y 米，5 . 1ABCSDE/AC，RtBDERtBAC，即，解得。因为ACDE BHBP5 . 22 . 1 2 . 1yy 3730y，即，所以甲同学的加工方法符合要求。3730 76yx 22yx二、几何设计问题二、几何设计问题 例 3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图） 。现找出其中的一种，测 得C90，ABBC4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具， 使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形与ABC的其他边相切。请设计出所 有可能符合题意的方

6、案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇 形半径） 。 分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分 类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除 相同情况。 解：可以设计如下四种方案：CBACBA221r42rACBHDEGFPBACED F例 4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分 割方案（分成三角形或四边形不限） 。方案一方案二方案三方案四CBAOCBAO23r4244r分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结； 也可从相似三角形性质来考虑。

7、 解：三、折线运动问题三、折线运动问题 例 5. 如图，客轮沿折线ABC从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D 出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮两船同时起航，并同时到达折线 ABC上的某点E处已知ABBC200 海里，ABC90，客轮速度是货轮 速度的 2 倍 (1) 选择：两船相遇之处E点在 ( ) （A）线段AB上 （B）线段BC上 （C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上 (2) 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号) 分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船 同时到达的 E 点作一个合理判断，E 点不可能在 AB 上，

8、因为当 E 点在 AB 上时，DE 的最短 距离为 D 到 AB 中点的距离，而此时 AB=2DE，当 E 不是中点时，AB2DE，所以 E 点不可能 在 AB 上。然后利用代数方法列方程求解 DE解：（1）B （2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里 过D作DFCB，垂足为F，连结DE则DE=x，AB+ BE=2x 在等腰直角三角形ABC中，ABBC200，D是AC中点， DF100，EF3002x 在 RtDEF中，DE 2DF 2 +EF 2， x 2100 2+(3002x) 2解之，得36100200 x200，36100200DE=36100200答：货轮从出发到两船相遇共航行了

9、海里)63100200(四、综合类几何应用四、综合类几何应用ABCDABCDEF例 6 .如图 1，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN=30 ，点 A 处有一所中学，oAP=160 米。假设拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公 路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已 知拖拉机的速度为 18 千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题要判断是否受到噪声的影响，只需求出 A 点到直线 MN的距离 AB，当此 AB100 米时就要受到噪声影响；第二个问题

10、只需要噪声影响路段的长度， 就能求出受影响的时间。 解：过点 A 作 ABMN，垂足为 B 在 RtABP 中：APB=QPN=30 AP=160 米则 AB=AP=80 米，所以21学校会受到噪声影响。 以 A 为圆心，100 米为半径作A,交 MN 于 C、D 两点，在 RtABC 中：AC=100 米，AB=80 米则：BC=（米）60801002222 ABACCD=2BC=120（米） ；18 千米/小时=5 米/秒 受影响时间为：120 米5 米/秒=24（秒） 例 7. 马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为 5 米、宽 2.5 米的长方形帆布缝制成的， 两块帆布缝合的公共部分是

11、 0.1 米，围成的围墙高 2.5 米（如下图）(1) 若先用 6 块帆布缝制成宽为 2.5 米的条形，求其长度； (2) 若用 x 块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长 y 与所用帆布的块数 x 之间 的函数关系式； (3) 要使围成的圆形场地的半径为 10 米，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙? 分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。 解：(1)6 块帆布缝制成条形后，有 5 块公共部分，所以 6 块缝制后的总长度为 6550.129.5(米) (2)x 块帆布缝制成密封的圆形围墙后有 x 块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则 y=5x-0.1x=4.

12、9x，所以 y=4.9x (3) 要围成半径为 10 米的圆形场地，则 2104.9x(块)82.129 . 48 .62 9 . 4 20x要到商店买这样的帆布 13 块。PNQMA2.5 米5 米0.1 米MQAPBDCN30ABCDEF解几何应用问题要求我们必须具备扎实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及 对数学思想方法的掌握，只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好几何应用问题的解决 方法。 练习：练习： 1、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球）的直径。某校研究性学习小组，通过 实验发现下面的测量方法：如图 8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下， 得到球的影子AB，设光线DA、

13、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径。 若测得AB的长为 40 cm，ABC30。请你计算出球的直径（精确到 1 cm） 。2、 如图；某人在公路上由 A 到 B 向东行走，在 A 处测得公路旁的建筑物 C 在北偏东 60方向。到达 B 处后，又测得建筑物 C 在北偏东 45方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物 C 的最近距离是（25+25）米，求 AB 之间的距离。3CBA3、 操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q。 探究：设 A，P 两点间的距离为 x。 （1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 有怎样的大小关系？试证明你观察得 到的结论； （2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出函数的定义域； （3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指 出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果 不可能，试说明理由。 （图 1，图 2，图 3 的形状，大小相同，图 1 供操作实验 用，图 2 和图 3 备用）A D A D A DB C B C B C