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1、1浅谈特征值和特征向量的解法与应用浅谈特征值和特征向量的解法与应用摘 要特征值与特征向量是高等代数研究的中心问题之一，而矩阵特征值与特征向量的解法及其应用更是重中之重，因此，在掌握特征值与特征向量概念、了解其基本性质的基础上，熟练掌握其在各种具体问题中的解法，并自然地将此知识应用于其他领域显得非常重要。关键词：特征值；特征向量；解法；应用一位数学家曾说过:“矩阵不仅节约思想,而且还节约黑板” 。矩阵作为一种数据结构,一种运算工具,对一些十分复杂的问题,处理起来十分容易。在高职教材中,对矩阵的介绍较为肤浅,学生很难正确把握矩阵的实质,更谈不上用矩阵来解决实际问题,在教学中,教师应结合专业,穿插矩
2、阵的应用,让学生看到矩阵的神奇;用矩阵能达到化繁为简,化难为易的功效。随着现代科学技术的发展，矩阵理论得到了迅速发展，现已成为目前最有实用价值的数学理论之一。它不仅是数学的一个重要分支，而且已成为现代各科学技术领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。特别是计算机的广泛应用，大量的算法都涉及到矩阵运算。当阶数较高时，矩阵乘法将变得非常繁杂，这就需要找出简单的方法。显然，如果能将一般矩阵和某个对角矩阵联系起来，就有希望简化计算。为此，下面我们先论述线性变换的特征值和特征向量的解法。它们对于线性变换的研究起十分重要的作用。在多数高等代数教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性
3、变换A A的属性，描述为线性空间中线性变换A A的特征值与特征向量;而在大部分线性代数教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成，定义为n n阶矩阵A A的特征值与特征向量。从理论上来讲，只要求出线性变换A A的特征值与特征向量，就可知矩阵A A的特征值与特征向量，反之亦然，因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要.本文讲介绍解特征2值与特征向量的几种方法。一 ，求解矩阵A A的特征根及特征向量的传统方法是。(1)取定数域K K上的线性空间的一个基，写出线性变换T T在改基下的矩阵A A；(2)求出A A的特征多项式在数域K K上的全部根，它们就是T T的全部特()征值；
4、把求得的特征值逐个带入方程组，解出矩阵A A的属于每个特征值的全部(3)线性无关额特征向量；以A A的属于每个特征值的特征向量为中取定基下的坐标，即得T T的(4)相应特征向量。例 1 设线性变换T T在的基下的矩阵是31，2，3A=A= 求T T的特征值和特征向量。122 212 221解 容易算出A A的特征多项式是=det=det= = =()( - ) - 1- 2- 2- 2 - 1- 2- 2- 2 - 1( + 1)2( - 5)因为T T的特征值是=5.=5.1= 1(二重特征值)和2特征方程=0=0的一个基础解系为, , ( - )(1 ，0 ， - 1)(0 ,1 , 1)
5、T T的属于的两个线性无关的特征向量为1, , 1= 1- 32= 2- 3的属于的全体特征向量为T1不同时为零)11+ 22 (1,2 特征方程=0=0的一个基础解系为 (1 - )3,则T T的属于的全体特征向量为( 1 , 1 , 1) 记 3= 1+ 2+ 32（K K不等于零）333对于线性空间的线性变换的任一特征值，T T的属于的全部特征向量，00再添上零向量所构成的集合 0= = 0， 是的一个线性子空间。事实上，设 ，y y,则有 0T T = = ， Ty=Ty=y y00于是T T=T=T +Ty=+Ty= T T= = = = 均属( + )0( + )() ()(0)0
6、() 于 . 0这就说明 与均属于 + 0例 2 求矩阵A=A=500 03- 20- 23的特征根和相应的特征向量。解 ： 矩阵A A的特征多项式= = =. .() - 500 0 - 32 02 - 3( - 5)2( - 1)所以特征根是1 1和5.5.当矩阵的属于特征根1 1的特征向量是齐次线性方程组-4-4=0=0，1-2-2+2+2=0=0，232 2=0=0。2- 23的非零解，即（0 0 , , a a , , a a ）,a,aC C ,a,a0 0 , ,4矩阵A A的属于5 5的特征向量是齐次线性方程组0 0=0=012 2+2+2=0=0232 2+2+2=0=023
7、的非零解，即（a a , , b b , , -b-b）, , a,a, b bC C且不全为零。二二 利用特殊的特征方程求特征值与特征向量。利用特殊的特征方程求特征值与特征向量。利用矩阵的特征方程来求特征值.设矩阵 ,根据特征方程，满足A的，则 是 的特征值。这种方法多应用于数值矩阵。 = 0A例 设 阶方阵 有特征值 ，求 , ,的特征值；若A A可逆，nA22+ 2 + 求 , , , ,的特征值。 1 1解 用特征方程求 。由题设可知=0=0 (3)(3) （3）式两边同乘,得 + = + ( + )( )=0=0，2 2故知有特征值 。22同理，（3 3）式两边同乘A+A+,得(2
8、+ )A+A+=(2 + ) (A + (2 + )( )= =(2+ 2) 2 2= =(2+ 2 + 1) (2+ 2 + )=0=0 , ,故知的特征值为。2+ 2 + 2+ 2 + 1 5当A A可逆时，（3 3）式两边同乘，得1 1= =0=0 . . 1 11 故知的特征值为 。 11 （3 3）式两边同乘，得= = = =0=01 故知的特征值为 。 同理由=0,=0,可得 11 =0=0 ， 1(1 1 )故有特征值1-1- 。 11 三 ，利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法。定理 1 设A A是n n阶方阵，为待求特征值.若对矩阵(A-E)T(A-E)T施行一系列
9、行初等变换，可得到上三角矩阵B(B()，令B(B()的主对角线上元素乘积为零，求得值即为矩阵A A的特征值。考察的第一列元素:若0,0, 通过行初等变换化为(A - E)1; ;若=0,=0,则本身就具有这样形式,再对进1() 01()1(A - E)d1()行相应的行初等变换,化为,依次对 进行如此运算,直至2() 02()d()6) )化为=B=B. .(A - E1() 02() 00()()由以上运算可知，与等价，则与B B有相同的( )B()( )()等因子，所以可证定理 1 成立。定理 2：若对矩阵实行一系列行初等变换，化为行阶梯形，同时( )对单位阵也施行相应的行初等变换，使,其
10、中为满秩矩( ) ,(, , ,)r = R( ), 阵，则中的n-rn-r个n n维向量的转置就为矩阵A A的属于特征值Y Y, , ,的特征向量。定理 3：设 是 阶方阵， 为待求特征值。若对矩阵施行一系列初An( )等变换，可得到上三角矩阵令的主对角线上元素乘积为零，求()，()得 值即为矩阵A A的特征值。定理 4： 设齐次线性方程组AX=0AX=0，A A是n n阶方阵，R R=r = =0 0111 21 1故是B B的属于=2=2的特征向量。于是1= =0 01 2 也是 的属于的特征向量。B = 2从而是 的特征值。 的属于1= 0 + 1 = 1 ，2= 2 + 1 = 3
11、AA的全部特征向量为其中 1= 111+ 22+ + 1 1 ,不全为零；A A的属于=3=3的全部特征向量为k k ,k,k0 0 . .1 ,2 , 1五 矩阵特征值反问题的求解。矩阵特征值反问题的求解，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素。当矩阵A A有n n个互不相等的特征值时，A A必有n n个线性无关的特征向量,那么矩阵A A必可对角化,故A=PA=P，其中相似变换矩阵P P由A A 1的n n个线性无关的特征向量组成。例 1 设 3 阶方阵的特征值为，对应1 = 1 ， 2= 0 ， 3=- 1的特征向量分别为= = ，= = , ,= =，求A.A.11 2 2
12、22 2 13 2 1 2由于是方阵 对应于特征值的（i = 1，2，3）A（i = 1，2，3）特征向量，于是有：A= ,12令，那么= = P =1 2 3=12 2 2 2 1 212 11 9122 2 21 2 12，则有AP=PAP=P,其中= 。1 0 1由上式可得A=PA=P= = ，即为所求。 11 3 102 012 220例 2已知线性方程组1+ 22+ 3= 3 21+ ( + 4)2 53= 6 1 22+ 3= - 3?有无穷多解，A A是三阶矩阵， ， ， 分别是A A关1 2 1 + 3 + 2 2 1 + 1于特征值1 1，-1-1，0 0 的三个特征向量，求A A。解 方程的增广矩阵经初等变换1213 2 + 4 56 1 2 3 1213 0 70 00 + 10因方程组有无穷多解，故a=0a=0或a=-1a=-1 。若，a=-1a=-1，则= = ， = = 线性相关与它
