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1、第二章 一元函数微分学 三、极限的计算方法（二） 4利用两个重要极限求极限exxxxx x )11 (lim21sin 0lim1：个重要极限的标准形式第：个重要极限的标准形式第注意：对于两个重要极限，不仅要记住他们的标准形式，更重要的是理解其本质特 征，明确其一般形式。1)()(sinlim1sinlim0)(010)()(1xxxxxxxxxxx为：个重要极限的一般形式则第，的某个变化过程中，若的函数，在为，设其自身之比的极限是正弦与的特征是：无穷小量的是无穷小量，即此极限中，在限的特征为：是无穷小量，因此该极时中，在xxex xx1)11 (lim为个重要极限的一般形式，则第的某个变化过
2、程中，若在。的极限为大量互为倒数其中，无穷小量与无穷无穷小量）无穷大量20)()(1 (xxeexxx )(10)()(1 (lim)(sinsinlim6 0均为常数，求极限例babxaxx两个函数乘积的极限，于是可把上极限化为解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又当 x0 时，ax0，bx0，于是有ba babxbxbaxaxabxx xax bxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txt tsinlim7 求极限例xxxtxtxtxt tttxtxtt 1)sin (limsinlim0是无穷小量，于是
3、有，即时，是变量，当解：在极限过程中，220sin11lim8xxx求极限例分析：当 x0 时，分子，分母的极限均为 0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以) 11(2 x，然后看是否可利用第1 个重要极限。 21 211111limsinlim ) 11(sin11limsin11lim 202202220220 解： xxxxxx xxxxxx)()1 (lim9为常数求极限例knknn 个重要极限求解。，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，无穷小是无穷小量，符合“，即时， 分析：当”）无穷大21 (0nknknkkknnnnen
4、k nk )1(lim)1 (lim解：)()1 (lim1010为常数求极限例kkxxx 极限求解。个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于是无穷大量，即极限属是无穷小量，时， 分析：当无穷大2111 (10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1 (lim1010解：3)5(lim11xxxx求极限例5355331)51(lim)51 (lim)51 (lim)5(limexxxxxxxxxxxx解：nnnn)13(lim12求极限例444141)11 (lim)11(lim)11 (lim)13(lim14114141141131eetttnntttt
5、tnntntntnnnnnn，于是有：时，且当，即 故令因为：解法解法 2：4 13133)11(lim)31(lim)11 (lim)31 (lim )1131 (lim)13(limeeennnnnn nnnnnnnnnnnnnn 5利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。 xxxx31 ) 3(1lim13 0求极限例。形后再求极限。式，一般采用先通分变”型未定属“均趋于无穷大，此极限与时， 分析：当xxxx3131091 )3(31lim)3(3)3(3lim31 )3(1lim 000 xxxx xxxxxx解：xxxxtancos1lim14 0求极限例分析：当 x0 时，分式中分
6、子分母的极限均为 0，不能直接使用极限的运算法则， 但前面所介绍“分解因式” 、 “有理化”的方法在此又不适用。能否利用第 1 个重要极限呢？ 这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。xx xxxxxxxxxxx xxxxx xxxcos1cossin)cos1 (cossinsin)cos1 (tancos1 )cos1 (tan)cos1)(cos1 ( tancos122 解：21 211cos1coslimsinlimtancos1lim 000xx xx xxxxxx所以，6利用无穷小量的性质求极限极限计算小结 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。1sinlim152xxxx求极限例解：因当 x时，sinx 的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到0111lim1lim22 xx xxxx是无穷小量，即的性质，是有界变量，由无穷小，即是无穷小量，而时， 即x xxxx xxxsin 12sin1sin 12 01sinlim2xxxx 极限计算小结： 以上介绍了极限计算中常用的 6 种基本初等方法，在实际运用中，要首先判定所求 极限属于哪一种类型，视具体情况灵活正确运用。同时，也要注意各种方法的综合运用。 极限计算是本章的重点内容之一，要求大家加强练习，熟练掌握。
