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1、1 第 2 章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V，质量为M，则VdVM根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立0VdVdtddtdM
2、(2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b） ，则0dV)v(divtdV)vdivDtD(dVdtdVVV因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有0vdivDtD（2-2a）或0)v(divt（ 2-3a）上式亦可以写成如下形式0xuDtDii（2-2b）或0x)u(tii（2-3b）2 式（ 2-2）和式（ 2-3）称为微分形式的连续性方程。在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为0z)u(y)u(x)u(tzyx（2-4）微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运
3、动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。由式（ 2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为0DtD（2-5）即密度应随质点运动保持不变。0 t只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5） ，质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1） ，含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2） ，都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。图 2-
4、1 河口的海水入侵1图 2-2 水库中的浑水异重流1对不可压缩均质流体，则不但0 DtD，而是在全流场和全部时间内常数，因此，连续性方程简化为3 0zuyuxuzyx（2-6a）以张量形式表示0xuii（2-6b）以矢量表示0vdiv（ 2-6c） ）即速度v的散度为零。或写为0v（2-6d）对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为0yuxuyx（2-7）微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导。设想在流场中取一空间微分平行六面体（图2-3） ，六面体的边长为dzdydx,，其形心为 A(x,y,z) ， A 点的流速在各坐标轴的投影为zyxuuu,，A 点的密度为。图 2-3 微分平行六
5、面体分 析 该 六 面 体 流 体 质 量 的 变 化 。 经 一 微 小 时 段dt， 自 左 面 流 入 的 流 体 质 量 为dydzdtxuudxxx x)2dx)(2(；自右面流出的流体质量为dydzdtxuudxxx x)2dx)(2(，故dt时段内沿 x 方向流入与流出六面体的流体质量差为dxdydzdtxudxdydzdtxuxuxx x)()(同理，在dt时段内沿y 和 z 方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为4 dxdydzdtyuy)( 和dxdydzdtzuz)(因此，在dt时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为dxdydzdtzuyuxuzyx)()(因六面体
6、内原来的平均密度为，总质量为dxdydz；经dt时段后平均密度变为dtt，总质量变为dxdydzdtt)(，故经过dt时段后六面体内质量总变化为dxdydzdttdxdydzdxdydzdtt)(在同一时段内， 流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等，即dxdydzdtzuyuxudxdydzdttzyx)()()(两端除以dxdydzdt后即得式（ 2-4） 。2.1.2 积分形式的连续方程对式（ 2-1）应用物质体积分的随体导数公式（1-15a） ，则有0dSudVtVSn（2-8）这就是积分形式的连续性方程。对于圆管或明渠一维恒定流动，因0t，则
7、式（ 2-8）简化为0dSuSn（2-9）上式的物理意义是，单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等。这个条件可简单地表示为2211AvAv（2-10a）或2211AvAv（2-10b）式中1A和2A为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积，1v和2v为上述两断面的平均速度。式（ 2-10）即为水力学中经常用到的总流的连续性方程。该式说明，在不可压缩流体5 总流中，任意两个过流断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流出多少流量。2.2 运动方程连续性方程是控制流体运动的基本方程之一，它只限于流体运动必须遵循的一个运动学条件。 因此， 还须从动力
8、学角度提出流动必须满足的条件，即运动方程 (equation of motion ） ，这样才组成求解流动的最基本方程组。2.2.1 应力表示的运动方程以图1-9 所示的流体中的微小六面体作为隔离体进行分析。微小六面体的质量为dxdydz。作用在六面体上的表面力每面有三个：一个法向应力，两个切应力。设法向应力沿外法线方向为正，设包含A 点的三个面上的切应力为负向，则包含H 点的三个面上的切应力必为正向。根据牛顿第二定律写出x 方向的动力平衡方程式dtdudxdydzdz)dxdyz(dxdydxdz)dyy(dxdzdydz)dxxpp(dydzpXdxdydzxzx zxzxyxyxyxxx
9、 xxxx化简后得x 方向的方程。同理可得zy,方向的方程。则dtdu)yx(1)zp(1Zdtdu)zx(1)yp(1Ydtdu)zy(1)xp(1Xzyzxzzzyzyxyyyxzxyxxx（2-11a）上式就是以应力表示的粘性流体的运动微分方程式。这是流体运动方程最一般的表达形式。写成张量形式jij ii xp1Fdtdu（2-11b）写成矢量形式divFdtvd(2-11c）6 式中， dtvd表示单位体积上的惯性力；F表示单位体积上的质量力；而div则表示单位体积上的应力张量的散度。于是运动方程（2-11c）表明单位体积上的惯性力等于单位体积上的质量力加上单位体积上应力张量的散度。上
10、述推导表明， 流体运动方程即是牛顿第二定律在流体运动中的应用。因牛顿第二定律就是动量定律，因此运动方程有时也称动量方程。流体运动方程也可从动量定理直接导出，下面进行推导。任取一体积为V的流体，它的边界为S。根据动量定理，体积V中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。以F表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而np为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在V上和S上的总质量力和表面力为VdVF及SdpSn，其次，体积V内的动量是VdVv。于是动量定理可写成下列表达式VVSndSpdVFdVvdtd(2-12) 对上式左端项，利用质量守恒定律，有下式成立dVdtvddmdtdv
11、dmdtvddmvdtddVvdtdVVVVV对上式右端第二项应用奥高定理，有下式成立SSVndVdivdSndSp其中是应力张量。于是式（2-12）变为0dVdivF dtvdV因V任意，且假定被积函数连续，因此被积函数恒为零，得divFdtvd（2-11c）上式也称为微分形式的动量方程，一般称为运动方程。2.2.2 纳维斯托克斯方程将不可压缩牛顿流体的本构方程式)3 ,2, 1,(,2jippijijij（1-41a）7 代入式（ 2-11b） ，并应用ij变形率张量)xuxu(21ijji ij（1-23）则有)xuxu(xxp1Fdtdujiijjiii（2-13）对于不可压缩流体，0
12、 xujj，则0)xu(x)xu(xjjiijj而i2 2 ji2jji2jiju xuxxu) xu( x其中，2 322 222 12 2 xxx222222zyx为拉普拉斯（Laplace）算子。将上式代入式（2-13） ，得i2iiiuxp1Fdtdu（2-14a）上式即是纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程，简称N-S 方程。式中为运动粘滞系数，。或写成以下形式vp1Fdtvd2（2-14b）vg r a d p1Fdtvd2（2-14c）2 ji2ii ji ji xuxp1Fxuutu（2-14d）式中，iixezkyjxi是哈密顿（ Hamilton ）算子，grad
13、p是压强梯度。8 在直角坐标系下，上述方程表述为z2zy2yx2xuzp1Zdtduuyp1Ydtduuxp1Xdtdu（2-14e）或) zuyuxu(zp1Zzuuyuuxuutu) zuyuxu (yp1Yzu uyu uxu utu)zuyuxu(xp1Xzuuyuuxuutu2z22z22z2 z zz yz xz2y22y22y2 y zy yy xy2x22x22x2 x zx yx xx（2-14f）上述 N-S 方程是不可压缩粘性流体的普遍方程。N-S 方程中有四个未知数zyxu,u,u ,p，因 N-S 方程组和连续性方程共有四个方程式，所以从理论上讲是可求解的，但实际上由
14、于数学上的困难，N-S 方程尚不能求出普遍解。一般只能在简单的边界条件，并略去一些次要因素，才能求得解析解。随着计算技术的发展，一些复杂的流体运动的数值求解日渐完善。如果流体为理想流体，运动粘滞系数0，则 N-S 方程即成为理想流体的运动微分方程，即 Euler 运动微分方程方程iii xp1Fdtdu（2-15a）或p1Fdtvd（2-15b）如果流体为静止或相对静止流体，则N-S 方程即成为流体的平衡微分方程，即Euler 平衡微分方程方程：0xp1Fii（2-16a）或0p1F（2-16b）9 2.2.3 兰姆葛罗米柯方程在运动方程式（2-15）中，将加速度 dtvd写成vvtvdtvd
15、考虑到场论中基本运算公式arota2agrada)a(2我们有vvrot 2Vgradtvdtvd2 （2-17）将惯性加速度写成上述形式的优点在于它将vv中的位势部分和涡旋部分分开，这样做在解决具体问题时常常是方便的。将式（2-17）代入式（ 2-15） ，得divFvvrot2Vgradtv2（2-18）这就是所谓得兰姆葛罗米柯（Lambpomeko）形式的运动方程。2.3 动量方程流体运动方程联同连续性方程原则上已可求解流动的流速分布和压强分布。进而，由流速分布通过本构方程求得切应力分布。通过积分即可求出某一作用面上流体合力，这常常是许多工程问题所需要寻求的。例如作用于水轮机叶片上的力，
16、作用于火箭的合力，以及作用于螺旋桨的推力等。但工程上往往只关心总的合力，并不关心其分布情况。若按上述方法，工作量甚大，又非必需。而动量方程（动量的积分方程）则可以简单方便地解决这类问题。下面从动量定理出发推导运动方程。与推导流体运动方程（微分形式的动量方程）的方法相同，任取一体积为V的流体，它的边界面为S。根据动量定理，体积V中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。以F表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而np为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在V上和S上的总质量力和表面力为VdVF及SdpSn，其次，体积V内的动量是VdVv。于是动量定理可写成下列表达式10 VVSndSpdVFdVvdtd(2-12) 对上式左边应用物质体积分的随体导数公式（1-16 ）得dSpdVFdSvvdVtvSnVSnV(2-19a) 这就是积分形式的动量方程，一般称为动量方程(momentum equation)。式中，nv是表面外法线方向的速度分量。把总质量力和表面力为VdVF及SdpSn分别用BF和S
