《2018年高考理科数学第一轮复习教案54 抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考理科数学第一轮复习教案54 抛物线（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第七节 抛物线1抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程2抛物线的几何性质掌握抛物线的简单性质知识点一 抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等(3)定点不在定直线上易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线自测练习1若抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A. B.17 1615 16C. D07 8解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为y，设 M(x，y)，则 y1，y.1
2、161 1615 16答案：B知识点二 抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p2)F(0，p 2)离心率,e1准线方程xp 2,xp 2,yp 2yp 2范围x0，yRx0，yR,y0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0p 2|PF|x0p 2|PF|y0p 2|PF|y0p 2易误提醒 抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p0，才能证明其几何意义是焦点 F
3、到准线 l 的距离，否则无几何意义必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.p2 4(2)弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)2p sin2 (3) .1 |FA|1 |FB|2 p(4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切自测练习2以 x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点 P(1，m)到焦点的距离为 3，则其方程是( )Ay4x2 By8x2Cy24x Dy28x解析：本题考查抛物线的标准方程设抛物线的方程为y22px，则由抛物线的定义知 1 3，即 p4
4、，所以抛物线方程为p 2y28x，故选 D.答案：D3(2016成都质检)已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 3，则线段AB 的长度为( )A6 B8C10 D12解析：依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2236，|AB|AF|BF|(x11)(x21)x1x228，故选 B.答案：B4若抛物线 y22px 的焦点与双曲线1 的右焦点重合，x2 6y2 3则 p 的值为_解析：双曲线1 的右焦点 F(3,0)是抛物线 y22px 的焦x2 6y2 3点，所以 3，p6.p 2答案：6考点一
5、抛物线的标准方程及几何性质|1抛物线 y4ax2(a0)的焦点坐标是( )A(0，a) B(a,0)C. D.(0，1 16a)(1 16a，0)解析：抛物线方程化标准方程为 x2y，焦点在 y 轴上，焦点1 4a为.(0，1 16a)答案：C2(2016宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是( )Ay2x Bx28yCy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y解析：若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2ax，将点P(4，2)的坐标代入，得 a1，所以抛物线的标准方程为y2x；若焦点在 y 轴上，设方程为 x2by，将点 P(4，2)的坐标代入，得 b
6、8，所以抛物线的标准方程为 x28y.故所求抛物线的标准方程是 y2x 或 x28y.答案：D3过抛物线 y24x 的焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|10，则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( )A1 B2C3 D4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为5，所以 AB 的中|AB| 2点到 y 轴的距离为 514.答案：D求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系(3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题考点二 抛物线的定义及
7、应用|抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1到焦点与动点的距离之和最小问题2到准线与动点的距离之和最小问题3到两定直线距离之和最小问题4到焦点与定点距离之和最小问题探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题1(2016邢台模拟)已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：(x1)2(y5)21 上，则|MA|MF|的最小值是_解析：抛物线 x24y 的焦点为 F(0,1)，准线为 y1，由抛物线的定义得|MF|等于 M 到准线的距离 d，所以|MA|MF|的最小值等于圆心 C 到准线的距离减去圆的半径，即 5
8、115.答案：5探究二 到准线与动点的距离之和最小问题2已知圆 C：x2y26x8y210，抛物线 y28x 的准线为l，设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d|PC|的最小值为( )A. B741C6 D9解析：由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24，圆心 C 的坐标为(3，4)由抛物线定义知，当 d|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即 d|PC|.3224241答案：A探究三 到两定直线距离之和最小问题3已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线y24x 上一动点 P 到直线 l1和 l2的距离之和的最小值为( )A. B.37 1611 5C3
9、D2解析：直线 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，则点 P 到直线 l2：x1 的距离等于 PF，过点 F 作直线 l1：4x3y60 的垂线，和抛物线的交点就是点 P，所以点 P 到直线 l1：4x3y60 的距离和到直线 l2：x1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值为2，故选 D.|406|3242答案：D探究四 到焦点与定点距离之和最小问题4(2016赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为
10、( )A(0,0) B.(1 2，1)C(1，) D(2,2)2解析：本题考查抛物线的定义，过 M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是 N，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时 M(2,2)答案：D求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决考点三 直线与抛物线的位置关系|(2016保定模拟)已知：过抛物线 x24y 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B
11、两个不同的点，过点 A，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点 C.(1)求证：0；ABCF(2)求ABC 的面积的最小值解 (1)证明：设 lAB：ykx1，代入 x24y 得 x24kx40，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，则xAxB4k，xAxB4.y x2，y x，lAC：y x xA(xxA)，1 41 21 4 2 A1 2lBC：y x xB(xxB)，xC2k，yC1.1 4 2 B1 2若 k0，则 kCF ，kABkCF1，1 k0.ABCF若 k0，显然0(或(2k,2)，ABCFCF(xBxA，k(xBxA)，AB2k(xBxA)2k(xBxA
12、)0.ABCF(2)由(1)知，点 C 到 AB 的距离 d|CF|2.1k2|AB|AF|FB|yAyB2k(xAxB)44k24，S |AB|d4(k21) ，1 23 2当 k0 时，ABC 的面积取最小值，为 4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解
13、法提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解(2015高考四川卷)设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( )A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：当直线 l 的斜率不存在时，这样的直线 l 恰有 2 条，即x5r，所以 02，又 y 2，所以 2b0)的一个焦点，C1与 C2的公共弦的长为 2.过y2 a2x2 b26点 F 的直线 l 与 C1相交于 A，B 两点，与 C2相交于 C，D 两点，且与同向ACBD(1)求 C2的
14、方程；(2)若|AC|BD|，求直线 l 的斜率解题思路 (1)由抛物线的焦点坐标可求 c，又由两曲线的公共弦长为 2得出 a，b 的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思6想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率 k 的方程规范解答 (1)由 C1：x24y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆 C2的一个焦点，所以 a2b21，(2 分)又 C1与 C2的公共弦的长为 2，C1与 C2都关于 y 轴对称，由6C1的方程为 x24y，(4 分)由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为，( 6，32)所以1，(5 分)9 4a26 b2联立得 a29，b28，故 C2的方程为1.(6 分)y2 9x2 8(2)如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为与同向，且|AC|BD|，所以，从而ACBDACBDx3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.(8 分)设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1.(9 分)由Error!得 x24kx40，而 x1，x2是这个方程的两根，所以 x1x24k，x1x24，由Error!得(98k2)x216kx640，而 x3，x4是这个方程的两根，所以 x3x4，x3x4，(10 分)16k
