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1、第 1 页 共 5 页八年级数学勾股定理应用之整体代换、折叠、八年级数学勾股定理应用之整体代换、折叠、等积变换（勾股定理）基础练习等积变换（勾股定理）基础练习试卷简介:全卷满分120分，测试时间30分钟，共三个大题：第一题选择，4道，每 道8分；第二题填空，3道，每道6分；第三题解答，7道，每道10分。本套试卷主要考 察了学生对勾股定理应用之整体代换、折叠、等积变换三个思想的掌握，这些思想学习起 来很容易。本卷有些题目联系了实际，有些难度，不过只要掌握了这三个思想的精髓，本 卷的题目就变得非常简单。做题不在量，掌握方法才是关键，这三种思想不仅在本章学习 中至关重要，在整个数学学科的学习过程中都
2、占有举足轻重的地位。 学习建议:本章主要内容是勾股定理的运用，不仅是中考常考的内容之一，更是整个数 学学科的重要内容之一。本章题目灵活多变，同学们可以在做题的同时体会勾股定理及整 体代换、折叠、等积变换三个思想的运用，并且关注问题的解决过程及解题思路的多样性。一、单选题一、单选题(共共 4 道，每道道，每道 8 分分) 1.如果直角三角形两直角边的比为 512，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A.6013 B.512 C.1213 D.60169答案：答案：D 解题思路：解题思路：此题应用的是等积变换思想：可设直角三角形两直角边分别为 5n、12n，由勾 股定理可求得斜边长为 13n；由等积变
3、换直角三角形的面积等于两直角边长乘积除以2，也等于斜边长与斜边上的高的乘积除以 2，由此可求得斜边上的高为n，故答案为 D.易错点：易错点：不会灵活应用等积变换思想 试题难度：试题难度：三颗星 知识点：知识点：直角三角形的性质 2.已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2答案：答案：A 解题思路：解题思路：此题应用的是整体代换思想：由题意知，a2+b2=102，a+b=14.由整体代换，ab=(a+b)2-(a2+b2)=48.故 S= ab=24(cm2)，故选 A.易错
4、点：易错点：不会应用整体代换思想解决问题 试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：直角三角形的性质 3.已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，第 2 页 共 5 页折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）cm2 A.6 B.8 C.10 D.12答案：答案：A 解题思路：解题思路：此题是勾股定理应用之折叠问题：设 AE=x，则 DE=9-x.由于沿 EF 折叠后，点 B 与点 D 重合，故 DE=BE=9-x.在ABE 中应用勾股定理，有 x2+32=（9-x）2，解得 x=4，即AE=4，故 S= ABAE=6（cm2） ，故
5、选 A.易错点：易错点：不熟悉折叠问题，列不出相应的等式关系解决问题 试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 4.已知 RtABC 中，C90，若 a+b=17cm，c=13 cm，则 RtABC 的面积为（ ） A.24cm2 B.30cm2 C.48cm2 D.60cm2答案：答案：B 解题思路：解题思路：此题应用的是整体代换思想：由题意知，a2+b2=132，a+b=17.由整体代换，ab=（a+b）2-（a2+b2）=60.故 SABC= ab=30（cm2） ，故选 B.易错点：易错点：应用勾股定理时，其中一直角边为底边的一半，而不是整个底边长 试题难度：试题难度
6、：四颗星 知识点：知识点：直角三角形的性质 二、填空题二、填空题(共共 3 道，每道道，每道 6 分分) 1.底边长为 16cm，底边上的高为 6cm 的等腰三角形的腰长为_cm答案：答案：10 解题思路：解题思路：根据等腰三角形的三线合一的性质，得底边上的高也是底边上的中线则该等 腰三角形的腰长的平方是 62+82=100，故腰长为 10（cm）. 易错点：易错点：应用勾股定理时，其中一直角边为底边的一半，而不是整个底边长 试题难度：试题难度：二颗星 知识点：知识点：勾股定理 2.在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处，另 一只爬到树顶 D 后
7、直接跃到 A 处，两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米.第 3 页 共 5 页答案：答案：15 解题思路：解题思路：由题意知 AD+DB=BC+CA，且 CA=20 米，BC=10 米，设 BD=x，则 AD=30-x，且在 RtACD 中 CD2+CA2=AD2，即（30-x）2=（10+x）2+202，解得 x=5 米，故树高为 CD=10+x=15 米. 易错点：易错点：列不出等式关系来求解问题 试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 3.直角三角形两直角边长分别为 5cm，12cm，则斜边上的高为_.答案：答案：cm解题思路：解题思路：此题应用的是等积变换思想：
8、由勾股定理可求得斜边长为 13cm，由等积变换 直角三角形的面积等于两直角边长乘积除以 2，也等于斜边长与斜边上的高的乘积除以2，故可求得斜边上的高为cm.易错点：易错点：不会灵活应用等积变换思想 试题难度：试题难度：三颗星 知识点：知识点：勾股定理 三、解答题三、解答题(共共 7 道，每道道，每道 10 分分) 1.要登上 9m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高 1m 的固定架上，并且底 端离建筑物最少是 6m，梯子至少需要多长？答案：答案：10m 解题思路：解题思路：根据题意，画出图形，AD 表示建筑物，则由题意知：BD=1m、AB=8m，BC 表 示梯子底端到建筑物的距离，
9、AC 为梯子的长度.在 RtABC 中，有 AC2=AB2+BC2=64+BC2.要 使梯子最短，只需使 BC 最小即可，由条件知，BC 最小取 6，此时 AC2=100，又 AC0，故 AC=10（m） ，即梯子至少要 10m易错点：易错点：不会应用勾股定理解决实际问题 试题难度：试题难度：三颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 第 4 页 共 5 页2.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm，BC8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它恰好落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长.答案：答案：3cm 解题思路：解题思路：此题是勾股定理应用之折叠问题：设 CD
10、=x，则 BD=8-x.由于ACD 沿 AD 折叠后 与AED 重合，故 DE=x，且 DEAB、AE=AC=6.由勾股定理可求得 AB=10，所以 BE=4，故在 RtBDE 中应用勾股定理，即 x2+42=（8-x）2，求得 x=3，即 CD=3（cm）. 易错点：易错点：不理解折叠问题的含义，列不出等式关系求解问题 试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 3.如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的
11、距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？答案：答案：10 解题思路：解题思路：设 AE=x，则 BE=25-x，在 RtADE 和 RtBCE 中分别应用勾股定理，即 DE2=152+x2，CE2=102+（25-x）2.又 DE=CE，可解得 x=10km，即 AE=10km 易错点：易错点：列不出等式关系求解问题 试题难度：试题难度：三颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 4.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 BD 的长吗？答案：答案：5cm 解题思路：解题
12、思路：此题是勾股定理应用之折叠问题：设 BD=x，则 CD=8-x.由于ACD 沿 AD 折叠后 与AED 重合，故 DE=8-x，且 DEAB、AE=AC=6.由勾股定理可求得 AB=10，所以 BE=4，故 在 RtBDE 中应用勾股定理，有（8-x）2+42=x2，求得 x=5，即 BD=5（cm）. 易错点：易错点：没有注意到折叠前后的图形是全等的，所以列不出相应的等式来解决问题第 5 页 共 5 页试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：勾股定理的证明 5.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为 48m2，其对角线长为 10m，为建栅栏， 要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助
13、小明算一算吗？答案：答案：28m 解题思路：解题思路：此题应用的是整体代换思想：设两直角边长分别为 a、b，则 a2+b2=102，ab=48.有整体代换可知， （a+b）2=a2+b2+2ab =196，而 a+b0，所以 a+b=14.故 可求得矩形鱼池的周长等于 2（a+b）=28（m）. 易错点：易错点：不会应用整体代换思想解决问题 试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 6.已知一直角三角形的三边长都是正整数，其中斜边长 13，并且周长为 30，求其面积答案：答案：30 解题思路：解题思路：此题应用的是整体代换思想：设两直角边长分别为 a、b，则a2+b2=132
14、，a+b=30-13=17.由整体代换，ab= （a+b）2-（a2+b2）=60.故 S= ab=30.易错点：易错点：不会应用整体代换思想解决问题 试题难度：试题难度：四颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 7.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下 端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度答案：答案：12 米 解题思路：解题思路：设旗杆的高为 x 米，则绳子的长为（x+1）米.应用勾股定理，可得 x2+52=（x+1）2，解得 x=12，即旗杆的高为 12 米 易错点：易错点：不会应用勾股定理解决实际问题 试题难度：试题难度：三颗星 知识点：知识点：勾股定理的应用 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦 7 楼楼 B 室室 电话：电话：65335902 西区总校：西区总校： 郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦 B 座座 405 室室 电话：电话：68856662
